Геометрическая прогрессия называется убывающей, если её общий член \(a_n\) уменьшается с увеличением \(n\). Для убывающей геометрической прогрессии выполняется следующее условие:
\[
|q| < 1
\]
где \(q\) — знаменатель прогрессии.

Сумма первых \(n\) членов убывающей геометрической прогрессии определяется формулой:
\[
S_n = a_1 \frac{1 - q^n}{1 - q}
\]
где \(a_1\) — первый член прогрессии, \(q\) — знаменатель прогрессии, \(n\) — количество членов.

Для убывающей геометрической прогрессии, где \(|q| < 1\), сумма \(S_n\) при \(n \to \infty\) стремится к конечному значению. Это значение можно оценить следующим образом:
\[
S = \lim_{n \to \infty} S_n = a_1 \frac{1}{1 - q}
\]

Доказательство

Рассмотрим убывающую геометрическую прогрессию с первым членом \(a_1\) и знаменателем \(q\), где \(|q| < 1\).

1. Сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии определяется формулой:
\[
S_n = a_1 + a_1 q + a_1 q^2 + \cdots + a_1 q^{n-1}
\]

2. Умножим обе части этого равенства на \(q\):
\[
q S_n = a_1 q + a_1 q^2 + a_1 q^3 + \cdots + a_1 q^n
\]

3. Вычтем второе равенство из первого:
\[
S_n - q S_n = a_1 - a_1 q^n
\]

4. Вынесем \(S_n\) за скобки:
\[
S_n (1 - q) = a_1 (1 - q^n)
\]

5. Разделим обе части на \(1 - q\):
\[
S_n = a_1 \frac{1 - q^n}{1 - q}
\]

6. Теперь рассмотрим предел \(S_n\) при \(n \to \infty\). Поскольку \(|q| < 1\), \(q^n \to 0\) при \(n \to \infty\):
\[
\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} a_1 \frac{1 - q^n}{1 - q} = a_1 \frac{1}{1 - q}
\]

Таким образом, сумма убывающей геометрической прогрессии при \(n \to \infty\) равна:
\[
S = a_1 \frac{1}{1 - q}
\]