Пусть функция \(f(x)\) непрерывна на отрезке \([a, b]\) и имеет производную на интервале \((a, b)\). Тогда существует на интервале \((a, b)\) точка \(c\), для которой выполняется равенство
\begin{equation}
f(b) - f(a) = (b-a)f'(c) \label{eq:eq1} \quad (1)
\end{equation}
причём \(a<c<b\).

Доказательство

Применим \(\href{https://examp.info/theorem/koshi-o-srednem/}{\text{теорему Коши}}\) при \(g(x)=x\). Так как \(f(x)\) дифференцируема на \((a, b)\) и непрерывна на \([a, b]\), то \(\exists c \in (a, b)\)
\[
\frac{f(b)-f(a)}{b - a} = f'(c)
\]
Теорема доказана.

\(\textbf{Геометрический смысл}\)

Теорема Лагранжа утверждает, что если кривая есть график непрерывной на \([a, b]\) функции, имеющей производную на \((a, b)\), то на этой кривой существует точка, соответствующая некоторой абсциссе \(c (a < c < b)\) такая, что касательная к кривой в этой точке параллельна хорде, стягивающей концы кривой \((a, f(a))\) и \((b, f(b))\).

Равенство 1 называется формулой конечных приращений Лагранжа.
Промежуточное значение \(c\) удобно записывать в виде \(c = a + \theta(b - a)\), где \(\theta\) есть некоторое число, удовлетворяющее неравенствам \(0 <\theta < 1\). Тогда формула Лагранжа примет вид
\[
f(b) - f(a) = (b - a)f'(a + \theta(b - a)).
\]
Это верно не только для \(a < b\), но и для \(a \geqslant b\).