Все медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ей в отношении 2:1.

Доказательство

Докажем сначала для двух медиан отношение.
Возьмем \(AM\) и \(CK\ - \) медианы. Пусть точка пересечения \(-\ O\). Отметим \(L\) и \(N\ -\) середины сторон \(AO\) и \(CO\) соответственно. Тогда \(LN\) и \(KM\ - \) средние линии треугольников \(AOC\) и \(ABC\) соответственно.
\(LN\) и \(KM\) параллельны стороне \(AC\) (по свойству средней линии), а также: \(LN = \frac{1}{2} AC = KM\). Тогда \(LKMN\) является параллелограммом по признаку. По свойству параллелограмма диагонали делятся пополам точкой пересечения.
Заметим, что \(KO = ON = NC\), \( MO = OL = LA \). Значит все медианы попарно точкой пересечения делятся в отношении 2:1.

Поскольку точка, делящая отрезок в заданном отношении, является единственной, то и другие медианы треугольника будут проходить через эту точку, что и требовалось доказать.