Ряд Дирихле \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^p}\) сходится при p > 1 и расходится при p \(\leqslant 1\) .

Доказательство

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^p}\) где p принадлежит |R, p > 0

ряд Дирихле сходится если \(\displaystyle\int\limits_1^{\infty} \dfrac{dx}{x^p}\) - сходится.

При p > 1: \(\displaystyle\lim_{A\to\infty} \dfrac{A^{1-p}}{1-p}\Bigg|_1^A\) = \(\dfrac{1}{p-1}\) \(\Rightarrow\) ряд сходится.

При p = 1: \(\displaystyle\int\limits_1^{\infty} \dfrac{dx}{x^p} = \displaystyle\int\limits_1^{\infty} \dfrac{dx}{x} = \ln{x}\Bigg|_1^A = \displaystyle\lim_{A\to\infty} \Bigg(\ln{A} - \ln{1}\Bigg) = \infty\)

\(\Rightarrow\) ряд расходится.

При p < 1: \(\displaystyle\lim_{A\to\infty} \dfrac{A^{1-p}}{1-p}\Bigg|_1^A = \infty\) \(\Rightarrow\) ряд расходится.

\(\Rightarrow\)\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^p}\) сходится при p > 1 и расходится при p \(\leqslant\) 1.