Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Это теорема, обратная теореме: \(\href{https://examp.info/theorem/priznak-parallelogramma-o-diagonalyah/}{\text{признак параллелограмма}}.\)

Доказательство

Пусть \(ABCD\) \(-\) данный параллелограмм. Проведём его диагональ \(BD\). Отметим на ней середину \(O\) и на продолжении отрезка \(AO\) отложим отрезок \(OC_1\), равный \(AO\) (рис. 1).

Четырёхугольник \(ABC_1D\) \(-\) параллелограмм по \(\href{https://examp.info/theorem/priznak-parallelogramma-o-diagonalyah/}{\text{признаку}}\). Следовательно, прямая \(BC_1\) параллельна \(AD\). Но через точку \(B\) можно провести только одну прямую, параллельную \(AD\). Значит, прямая \(BC_1\) совпадает с прямой \(BC\).

Точно так же доказывается, что прямая \(DC_1\) совпадает с прямой \(DC\). Значит, на самом деле, точка \(C_1\) совпадает с точкой \(C\), а параллелограмм \(ABCD\) совпадает с параллелограммом \(ABC_1D\) (рис. 2). Поэтому его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Теорема доказана.