Площадь шарового пояса равна:
\[ S_{\text{шар.пояса}} = 2\pi Rh, \]
где \(R\) \(-\) радиус шара, \( h \) \(-\) высота шарового пояса.

Доказательство

Для вывода формулы воспользуемся теми же рассуждениями, что и в \(\href{https://examp.info/theorem/ploshad-poverhnosti-sfery/}{\text{теореме о площади сферы}}\). Отличие будет заключаться в том, что теперь правильная ломаная вписана не в полуокружность, а в некоторую ее часть, например в дугу \( A_kA_l, l>k \), при вращении которой образуется шаровой пояс. Тогда получим, что сумма площадей проекций звеньев ломаной на ось вращения равна \( h_{k+1} + h_{k+2} + \ldots + h_l = h \), где \( h \) \(-\) высота шарового пояса, и сумма площадей поверхностей вращения звеньев ломаной равна:
\[ S_{k+1} + S_{k+2} + \ldots + S_l = 2\pi \cdot a_n \cdot h.\]
Следовательно, перейдя к пределу при \( n \to +\infty \), получим:
\[ S_{\text{шар. пояса}} = 2\pi Rh.\]