\(\textbf{Теорема}\) Пусть в декартовой системе координат векторы \(\overrightarrow a,\) \(\overrightarrow b\) имеют координаты \((x_1,y_1)\) и \((x_2,y_2)\) соответственно. Тогда \[
(\overrightarrow a, \overrightarrow b)=x_1x_2+y_1y_2.
\]

\(\textbf{Замечание}\) В пространстве формула будет иметь вид \[
(\overrightarrow a, \overrightarrow b)=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2,\]где \((x_1,y_1,z_1)\) и \((x_2,y_2,z_2)\) - координаты векторов \(\overrightarrow a,\) \(\overrightarrow b\) соответственно.

Доказательство

Обозначим через \(\overrightarrow i\) и \(\overrightarrow j\) единичные векторы, направленные по осям координат. Эти вектора перпендикулярны, поэтому \((\overrightarrow i,\overrightarrow j)=0.\) Кроме того, \[(\overrightarrow i, \overrightarrow i)=1, \quad (\overrightarrow j, \overrightarrow j)=1.\] Получаем \[(\overrightarrow a, \overrightarrow b)=(x_1\overrightarrow i+y_1\overrightarrow j)\cdot(x_2\overrightarrow i+ y_2\overrightarrow j)=\]\[x_1x_2(\overrightarrow i, \overrightarrow i)+y_1y_2 (\overrightarrow j, \overrightarrow j)+(x_1x_2+y_1y_2)(\overrightarrow i, \overrightarrow j)=x_1x_2+y_1y_2.\]