\(\textbf{Теорема}\) (косинусов для трехгранного угла) Для трехгранного угла, плоские углы которого равны \(\alpha, \beta, \gamma\) и двугранный угол при ребре, противолежащем плоскому углу \(\gamma,\) равен \(\varphi,\) имеет место следующая зависимость\[
\cos\varphi=\frac{\cos \gamma -\cos\alpha\cos \beta}{\sin\alpha\sin\beta}.
\]
\(\textbf{Частный случай}\) Если \(\varphi=\frac{\pi}{2},\) то соотношение примет вид:\[
\cos\gamma =\cos\alpha\cos\beta
\] - аналог теоремы Пифагора для трехгранных углов с прямым двугранным углом.

Доказательство

Проведем два перпендикуляра: \(A_1C_1\) и \(B_1C_1\) к прямой \(SC.\) Пусть \(SC_1=x,\) тогда из треугольника \(SB_1C_1\) получим\[
SB_1=\frac{x}{\cos\alpha}, \quad B_1C_1=x\mathop{\mathrm{tg}}\alpha,
\]а из треугольника \(SA_1C_1\) получим \[
SA_1=\frac{x}{\cos \beta}, \quad A_1C_1=x\mathop{\mathrm{tg}}\beta.
\]По теореме косинусов из треугольника \(SA_1B_1\)\[
A_1B_1^2=\frac{x^2}{\cos^2\alpha}+\frac{x^2}{\cos^2\beta}-2\frac{x^2\cos\gamma}{\cos\alpha\cos\beta};
\]из треугольника \(A_1B_1C_1\)\[
A_1B_1^2=x^2{\mathop{\mathrm{tg}}}^2\alpha+x^2{\mathop{\mathrm{tg}}}^2\beta-2x^2{\mathop{\mathrm{tg}}}\alpha {\mathop{\mathrm{tg}}}\beta\cos\varphi.
\]Приравнивая последние два равенства, получим:\[
\frac{1}{\cos^2\alpha}+\frac{1}{\cos^2\beta}-2\frac{x^2\cos\gamma}{\cos\alpha\cos\beta}=x^2{\mathop{\mathrm{tg}}}^2\alpha+x^2{\mathop{\mathrm{tg}}}^2\beta-2x^2\mathop{\mathrm{tg}}\alpha \mathop{\mathrm{tg}}\beta\cos\varphi,
\]учитывая, что \(\frac{1}{\cos^2\alpha}={\mathop{\mathrm{tg}}}^2\alpha+1,\) получим\[
1-\frac{\cos\gamma}{\cos\alpha\cos\beta}=-\frac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}\cos\varphi,
\]откуда\[
\cos\varphi=\frac{\cos \gamma-\cos\alpha\cos\beta}{\sin\alpha\sin\beta}.
\]
\(\textbf{Примеры}\) \(\href{https://examp.info/task/1087/}{1087}\)