Площадь сечения можно вычислить по формуле \(S_\text{ceч}=\dfrac{S_\text{пр}}{\cos \varphi},\) где \(S_\text{пр}\) — площадь проекции сечения на плоскость основания фигуры (когда это основание есть (например, в случае пирамиды)), \(\varphi\) — угол между плоскостью сечения и плоскостью основания.

Доказательство

Пусть есть треугольник \(ABC\) и его проекция \(ABC_1\) на плоскость \(\alpha.\) Проведем высоту \(CD\) треугольника \(ABC.\) По теореме о трех перпендикулярах отрезок \(C_1D\) – высота треугольника \(ABC_1.\) Угол \(CDC_1\) равен углу \(\varphi\) между плоскостью треугольника \(ABC\) и плоскостью проекции \(\alpha.\)\[
CD = \dfrac{C_1D}{\cos{\varphi}}\]\[
S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB \cdot CD, \quad S_{ABC_1} = \dfrac{1}{2}AB \cdot C_1D\]\[
S_{ABC} = \dfrac{S_{ABC_1}}{\cos{\varphi}}
\]
Следовательно, для треугольника теорема верна.

Пусть теперь есть многоугольник \(ABCD.\) Разобьем его на треугольники. Каждый треугольник, у которого нет стороны, параллельной плоскости проекции, разобьем на два треугольника с общей стороной, параллельной плоскости проекции. Получаем, что для каждого треугольника \(\Delta\) и его проекции \(\Delta_1\) в плоскости \(\alpha\) верно равенство\[
S_{\Delta} = \dfrac{S_{\Delta_1}}{\cos{\varphi}}
\]

Сложим все эти равенства почленно. Получим\[
S_{ABCD} = \dfrac{S_{ABC_1D_1}}{\cos{\varphi}}
\]