Сумма внутренних углов треугольника равна \(180^{\circ}.\)

Доказательство

Пусть \(ABC - \) данный треугольник. Проведем через вершину \(C\) прямую, параллельную прямой \(AB.\) Отметим на ней точку \(D\) так, чтобы точки \(A\) и \(D\) лежали по разные стороны от прямой \(BC.\)

Углы \(DCB\) и \(ABC\) равны, как внутренние накрест лежащие, образованные секущей \(BC\) и параллельными прямыми \(AB\) и \(CD.\) Поэтому сумма внутренних углов треугольника при вершинах \(B\) и \(C\) равна углу \(ACD.\)

А сумма всех трех внутренних углов треугольника равна сумме углов \(ACD\) и \(CAB.\) Так как эти углы \(-\) внутренние односторонние при параллельных прямых \(AB\) и \(CD\) и секущей \(AC\), то их сумма равна \(180^{\circ}\). Теорема доказана.