Пусть выполнены следующие условия:
\(\phi(x)\in C^2(\mathbb{R}), \ \psi(x)\in C^1(\mathbb{R}) \ \text{при} \ n=1\). Тогда решение \(\href{https://examp.info/onedef/zadacha-koshi-dlya-volnovogo-uravneniya/}{\text{задачи Коши}}\) существует и единственно, выражается формулой Даламбера
\[u(x,t) = \frac{1}{2}\left[ \phi(x-at) + \phi(x+at)\right] + \frac{1}{2a}\int \limits_{x-at}^{x+at} \psi(\xi)\,d\xi\]

Доказательство

В случае \(n=1\) волновое уравнение имеет вид

\[\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = a^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \ t>0, \ x\in\mathbb{R}, \ a>0.\]
Его общее решение выражается формулой \(u(x,t) = f(x-at) + g(x+at)\). Подставляя начальные условия \(\left.u\right \vert_{t=0} = \phi(x), \ \left.\dfrac{\partial u}{\partial t}\right \vert_{t=0} = \psi(x)\), имеем
\[\begin{cases}
f(x) + g(x) = \phi(x) \\
-af'(x) + ag'(x) = \psi(x), \ x\in\mathbb{R}.
\end{cases}\]
Интегрируя второе уравнение, получаем
\[-f(x) + g(x) = \frac{1}{a}\int \limits_{0}^{x} \psi(\xi)\,d\xi + \frac{c}{a}.\]
Складывая это уравнение с первым, получаем

\[g(x) = \frac{1}{2}\phi(x)+\frac{1}{2a}\int \limits_{0}^{x} \psi(\xi)\,d\xi + \frac{c}{2a}, \qquad f(x) = \frac{1}{2}\phi(x)+\frac{1}{2a}\int \limits_{x}^{0} \psi(\xi)\,d\xi - \frac{c}{2a}\]
Подставляя эти выражения в формулу для общего решения, получаем формулу Даламбера

\[u(x,t) = f(x-at) + g(x+at) = \frac{1}{2}\phi(x-at)+\frac{1}{2a}\int \limits_{x-at}^{0} \psi(\xi)\,d\xi - \frac{c}{2a} + \frac{1}{2}\phi(x+at)+\frac{1}{2a}\int \limits_{0}^{x+at} \psi(\xi)\,d\xi + \frac{c}{2a} = \frac{1}{2}\left[ \phi(x-at) + \phi(x+at)\right] + \frac{1}{2a}\int \limits_{x-at}^{x+at} \psi(\xi)\,d\xi\]