Если два равных угла опираются на один и тот же отрезок и вершины углов лежат по одну сторону от отрезка, то через вершины этих углов и концы отрезка можно провести окружность

Доказательство

Рассмотрим окружность, проходящую через точки A, B и C. Такая окружность существует и единственна, так как три точки, не лежащие на одной прямой, однозначно определяют окружность (предполагаем, что A, B, C не совпадают).

Предположим, что точка D не лежит на окружности.
Тогда проведём луч \(AD\). Он пересечёт окружность в некоторой точке \(D'\) (отличной от \(A\) ).
Тогда \(\angle AD'B\) и \(\angle ACB\) вписаны в одну окружность и опираются на одну дугу, значит они равны, те \(\angle AD'B = \angle ACB \).
Но по условию у нас \(\angle ADB = \angle ACB \). Если бы точка \(D\) лежала бы внутри или вне окружности, то угол \(\angle ADB\) был бы соответственно больше или меньше чем угол \(\angle AD'B \) и соответственно чем угол \(\angle ACB\), что противоречит условию.