Если ребро \(SA\) произвольной треугольной пирамиды \(\mathrm{SABC}\) (\(\mathrm{S}\) \(-\) вершина) изменить в \(k\) раз, ребро \(\mathrm{SB}\) \(-\) в \(m\) раз, ребро \(\mathrm{SC}\) \(-\) в \(n\) раз, то есть перейти к пирамиде \(\mathrm{SA_{1}B_{1}C_{1}}\) такой, что \(\mathrm{SA_{1}}=k \cdot \mathrm{SA}, \mathrm{SB_{1}}=m \cdot \mathrm{SB}, \mathrm{SC_{1}}=n \cdot \mathrm{SC}\), то объем пирамиды изменится в \(k m n\) раз, то есть \[\mathrm{V}_{\mathrm{SA_{1}} \mathrm{B_{1}} \mathrm{C_{1}}}=k m n \cdot \mathrm{V}_{\mathrm{SABC}}.\]

Доказательство

Обозначим \(A_{1}L\) и \(AK\) высоты пирамид \(SA_{1}B_{1}C_{1}\) и \(SABC\) соответственно. Тогда по \(\href{https://examp.info/theorem/ob-obeme-piramidy/}{\text{теореме об объеме пирамиды}}\)
\[V_{S A_{1} B_{1} C_{1}}=\dfrac{1}{3} S_{\triangle S B_{1} C_{1}} \cdot A_{1} L, V_{S A B C}=\dfrac{1}{3} S_{\triangle S B C} \cdot A K.\]
Из \(\href{https://examp.info/onedef/podobnye-treugolniki/}{\text{подобия}}\) треугольников \(S A_{1} L\) и \(\mathrm{SAK}\left(\angle A S K\right.\) \(-\) общий, \(\angle A K S=\angle A_{1} L S=90^{\circ}\) ) следует пропорциональность сторон \(\dfrac{S A_{1}}{S A}=\dfrac{A_{1} L}{A K}=k\). Тогда \[\dfrac{V_{S A_{1} B_{1} C_{1}}}{V_{S A B C}}=\dfrac{\dfrac{1}{3} S_{\triangle S B_{1} C_{1}} \cdot A_{1} L}{\dfrac{1}{3} S_{\triangle S B C} \cdot A K}=k \cdot \dfrac{S_{\triangle S B_{1} C_{1}}}{S_{\triangle S B C}}=k \cdot \dfrac{\frac{1}{2} S B_1 \cdot S C_1 \sin \angle B_{1} S C_{1}}{\frac{1}{2} S B \cdot S C \sin \angle B S C}=k m n,\] откуда \[\mathrm{V}_{\mathrm{SA_{1}} \mathrm{B_{1}} \mathrm{C_{1}}}=k m n \cdot \mathrm{V}_{\mathrm{SABC}}.\]