Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна самой наклонной.

Доказательство

Пусть \(BC\) — перпендикуляр к плоскости \(\alpha\), \( BD\) — наклонная и \(f\) — прямая в плоскости \( \alpha \) , проходящая через точку \(D\) и перпендикулярная проекции \(CD\). Проведём прямую \(AD\) параллельно прямой \(BC\). Прямая
\(AD\) перпендикулярна плоскости \(\alpha\) (так как она параллельна \(BC\)), а значит, и любой прямой этой плоскости, следовательно, \(AD\) перпендикулярна прямой \(f\). Проведём через параллельные прямые \(AD\) и \(BC\) плоскость \(\beta\) (параллельные прямые определяют плоскость, причём только одну). Прямая c перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости \(\beta\) , это DC по условию и AD по построению, значит, она перпендикулярна и любой прямой, принадлежащей этой плоскости, значит, перпендикулярна и прямой BD.