Рассмотрим общие характеристики непрерывных функций на \([a, b]\).
Функция \(f\) принадлежит классу \(C[a, b]\), если она непрерывна в каждой точке отрезка \([a, b]\).

1. \(f \in C[a, b] \implies f\) ограничена на отрезке \([a, b]\).

2. \(f \in C[a, b] \implies \exists c, d \in [a, b] \ \forall x \in [a, b]: f(c) \leq f(x) \leq f(d)\).

3. \(f \in C[a, b] \implies f\) принимает все промежуточные значения между своим минимумом и максимумом:
\[
\forall C \in [m, M] \ \exists c \in [a, b]: f(c) = C,
\]
где \(m = \min\limits_{[a,b]} f\), \(M = \max\limits_{[a,b]} f\).

4. \(f \in C[a, b] \implies f\) равномерно непрерывна на \([a, b]\):
\[
\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \forall x_1, x_2 \in [a, b]:
\]
\[
|x_1 - x_2| < \delta \implies |f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon.
\]

Доказательство

\(\textbf{1. Доказательство ограниченности}\)

От противного. Предположим, что \( f \) не ограничена на \([a, b]\). Тогда для каждого натурального \( n \) найдётся точка \( x_n \in [a, b] \) такая, что \( |f(x_n)| > n \).

Последовательность \(\{x_n\}\) ограничена, поскольку все её элементы принадлежат отрезку \([a, b]\). По теореме \(\href{https://examp.info/theorem/bolcano-vejershtrassa/}{\text{Больцано-Вейерштрасса}}\) из неё можно выделить сходящуюся подпоследовательность \(\{x_{n_k}\}: x_{n_k} \to c \in [a, b]\).

В силу непрерывности функции \( f \) в точке \( c \):
\[
\lim_{k \to \infty} f(x_{n_k}) = f(c).
\]

Но с другой стороны, \( |f(x_{n_k})| > n_k \to \infty \) при \( k \to \infty \), что противоречит существованию конечного предела. Следовательно, функция \( f \) ограничена на отрезке \([a, b]\).

\(\textbf{2. Доказательство достижимости граней}\)

По предыдущей теореме функция \( f \) ограничена, поэтому точные грани \( m = \inf f \) и \( M = \sup f \) конечны. Докажем существование точки минимума (для максимума доказательство аналогично).

По определению точной нижней грани для каждого натурального \( n \) найдётся точка \( x_n \in [a, b] \) такая, что \( m \leqslant f(x_n) < m + \frac{1}{n} \).

Последовательность \(\{x_n\}\) ограничена, поэтому выделим из неё сходящуюся подпоследовательность \( x_{n_k} \to c \in [a, b] \). В силу непрерывности функции \( f \):
\[
f(c) = \lim_{k \to \infty} f(x_{n_k}).
\]

Но \( m \leqslant f(x_{n_k}) < m + \frac{1}{n_k} \to m \) при \( k \to \infty \), поэтому \( f(c) = m \). Значит, точка \( c \) является точкой минимума функции \( f \) на отрезке \([a, b]\).

\(\textbf{3. Доказательство теоремы о промежуточных значениях}\)

\[
m = \min_{[a,b]} f(x), \quad M = \max_{[a,b]} f(x) \quad \text{и} \quad C \in [m, M].
\]
Если \( C = m \) или \( C = M \), то утверждение следует из свойства 2.

Пусть \( m < C < M \). Рассмотрим функцию \( g(x) = f(x) - C \). Она непрерывна на \([a,b]\). Пусть \( x_1, x_2 \in [a,b] \) такие, что \( f(x_1) = m \), \( f(x_2) = M \) (такие точки существуют по свойству 2). Тогда:
\[
g(x_1) = m - C < 0, \quad g(x_2) = M - C > 0.
\]

По теореме \(\href{https://examp.info/theorem/bolcano-koshi-o-promezhutochnyh-znacheniyah/}{\text{Больцано-Коши}}\) существует точка \( c \) между \( x_1 \) и \( x_2 \) такая, что \( g(c) = 0 \), т.е. \( f(c) = C \).

\(\textbf{4. Доказательство равномерной непрерывности}\)

От противного. Предположим, что \( f \) не является равномерно непрерывной на \([a,b]\). Тогда:
\[
\exists \varepsilon_0 > 0: \forall \delta > 0 \ \exists x_1, x_2 \in [a,b]: |x_1 - x_2| < \delta \ \text{и} \ |f(x_1) - f(x_2)| \geqslant \varepsilon_0.
\]

Возьмём \( \delta_n = \frac{1}{n} \). Для каждого \( n \) найдутся \( x_n, y_n \in [a,b] \) такие, что:
\[
|x_n - y_n| < \frac{1}{n} \ \text{и} \ |f(x_n) - f(y_n)| \geqslant \varepsilon_0.
\]

Последовательность \(\{x_n\}\) ограничена. По теореме \(\href{https://examp.info/theorem/bolcano-vejershtrassa/}{\text{Больцано-Вейерштрасса}}\) существует подпоследовательность \(\{x_{n_k}\}\), сходящаяся к некоторой точке \( c \in [a,b] \). Так как \( |x_{n_k} - y_{n_k}| < \frac{1}{n_k} \), то \( y_{n_k} \to c \) при \( k \to \infty \).

В силу непрерывности \( f \) в точке \( c \):
\[
\lim_{k \to \infty} f(x_{n_k}) = f(c), \quad \lim_{k \to \infty} f(y_{n_k}) = f(c).
\]

Следовательно,
\[
\lim_{k \to \infty} |f(x_{n_k}) - f(y_{n_k})| = 0.
\]

Но это противоречит тому, что \( |f(x_{n_k}) - f(y_{n_k})| \geqslant \varepsilon_0 > 0 \) для всех \( k \). Значит, функция \( f \) \(\href{https://examp.info/onedef/ravnomernaya-nepreryvnost-funkcii/}{\text{равномерно непрерывна}}\) на \([a,b]\).