Теорема о равенстве смешанных производных

Пусть функция $f(x,y)$ двух действительных переменных $x,y$ определена в некоторой окрестности точки $P(x_{0},y_{0})$ и имеет там частные производные $f_{x}, f_{y}, f_{xy}, f_{yx}$. Если смешанные производные $f_{xy}, f_{yx}$ непрерывны в точке $P$, то они совпадают: $f_{xy}(P) = f_{yx}(P)$.

Доказательство

Пустъ функиия $f(x, y)$ двух действительных переменных $x, y$ определена в некоторой окрестности точки $P\left(x_0, y_0\right)$ и имеет там частные производные $f_x, f_y, f_{x y}, f_{y x}$. Если смешанные производные $f_{x y}, f_{y x}$ непрерывны в точке $P$, то они совпадают: $f_{x y}(P)=f_{y x}(P)$.
- Пусть смешанные производные определены в квадрате
$$
\left\{(x, y)^T \in \mathbf{R}^2:\left|x-x_0\right|<\xi,\left|y-y_0\right|<\xi\right\}
$$

и непрерывны в точке $P\left(x_0, y_0\right)$. Рассмотрим функцию
$$
\Phi(t)=f\left(x_0+t, y_0+t\right)-f\left(x_0+t, y_0\right)-f\left(x_0, y_0+t\right)+f\left(x_0, y_0\right) \quad(0<t<\xi) .
$$

Установим равенство
$$
\lim _{t \rightarrow 0} \frac{\Phi(t)}{t^2}=f_{y x}(P) .
$$

Положим $\varphi(x)=f\left(x, y_0+t\right)-f\left(x_0, y_0\right)$. Как нетрудно видеть, $\Phi(t)=\varphi\left(x_0+t\right)-\varphi\left(x_0\right)$. Применяя теорему о среднем к функции $\varphi$ переменного $x$, имеем
$$
\Phi(t)=\varphi\left(x_0+t\right)-\varphi\left(x_0\right)=\varphi_x(c) t=\left(f_x\left(c, y_0+t\right)-f_x\left(c, y_0\right)\right) t ;
$$

здесь $c \in\left(x_0, x_0+t\right)$. Выражение в скобках можно представить в виде
$$
f_x\left(c, y_0+t\right)-f_x\left(c, y_0\right)=f_{y x}(c, d) t,
$$

где $d \in\left(y_0, y_0+t\right)$ (снова используется формула конечных приращений). Объединяя установленные равенства, приходим к соотношению $\Phi(t)=f_{y x}(c, d) t^2$. Числа $c, d$ зависят от $t$, но при $t \rightarrow 0 \quad(c, d) \rightarrow\left(x_0, y_0\right)$. Поскольку функция $f_{y x}$ непрерывна в точке $P$, то $f_{y x}(c, d) \rightarrow f_{y x}(P)$ при $t \rightarrow 0$. Следовательно, и $\frac{\Phi(t)}{t^2} \rightarrow f_{y x}(P)$, что и доказывает равенство (1). Ввиду симметрии переменных $x, y$ в выражении $\Phi$ верно равенство
$$
\lim _{t \rightarrow 0} \frac{\Phi(t)}{t^2}=f_{x y}(P) .
$$

Соотношения $(1),(2)$ влекут за собой доказываемое утверждение.