Для любого натурального числа \(n\) и любых действительных чисел \(a\) и \(b\) справедлива формула, называемая \(\textbf{формулой бинома Ньютона}\):
\[(a+b)^n=C_n^0\cdot a^n+C_n^1\cdot a^{n-1}b^{1}+C_n^2\cdot a^{n-2}b^{2}+\ldots+C_n^{n-2}\cdot a^2b^{n-2}+C_n^{n-1}\cdot a^1b^{n-1}+C_n^{n}\cdot b^{n},\] где \(С^k_n\) \(-\) число сочетаний из \(n\) по \(k\).

Доказательство

Докажем истинность этой формулы методом математической индукции:

1. Сначала учтем, что \(C_n^0=\dfrac{n!}{0!\cdot (n-0)!}=1\) (\(0!=1\) по определению), \(C_n^n=\dfrac{n!}{n!\cdot (n-n)!}=1.\)

\(\textit{шаг 1:}\) Покажем, что формула верна для \(n=1\):
\[(a+b)^1=C-1^0\cdot a^1+C_1^1\cdot b^1=a+b.\]
\(\textit{шаг 2:}\) Пусть формула верна для \(n=k\):
\[(a+b)^k=C_k^0\cdot a^k+C_k^1\cdot a^{k-1}b^{1}+C_k^2\cdot a^{k-2}b^{2}+\ldots+C_k^{k-2}\cdot a^2b^{k-2}+C_k^{k-1}\cdot a^1b^{k-1}+C_k^{k}\cdot b^{k}.\]

2. Теперь необходимо доказать, что формула верны для \(n=k+1\) (пользуясь формулами выше):
\[(a+b)^{k+1}=(a+b)(a+b)^k=\]\[=(a+b)\bigg(C_k^0\cdot a^k+C_k^1\cdot a^{k-1}b^{1}+C_k^2\cdot a^{k-2}b^{2}+\ldots+C_k^{k-2}\cdot a^2b^{k-2}+C_k^{k-1}\cdot ab^{k-1}+C_k^{k}\cdot b^{k}\bigg).\]

3. Перемножая слагаемые из скобок получим:
\[(a+b)^{k+1}=C_k^0\cdot a^{k+1}+C_k^0\cdot a^kb+C_k^1\cdot a^{k}b+C_k^1\cdot a^{k-1}b^{2}+C_k^2\cdot a^{k-1}b^{2}+C_k^2\cdot a^{k-2}b^{3}+\ldots\]\[\ldots+C_k^{k-2}\cdot a^3b^{k-2}+C_k^{k-2}\cdot a^2b^{k-1}+C_k^{k-1}\cdot a^2b^{k-1}+C_k^{k-1}\cdot a^1b^{k}+C_k^{k}\cdot ab^{k}+C_k^{k}\cdot b^{k+1}.\]

4. Приведем подобные слагаемые:
\[(a+b)^{k+1}=C_k^0\cdot a^{k+1}+a^kb(C_k^0 +C_k^1) +a^{k-1}b^{2}(C_k^1+C_k^2)+a^{k-2}b^{3}(C_k^2 +C_k^3)+ \ldots\]\[\ldots +a^3b^{k-2}(C_k^{k-3}+C_k^{k-2})+a^2b^{k-1}(C_k^{k-2}+C_k^{k-1})+ab^{k}(C_k^{k-1} +C_k^{k})+C_k^{k}\cdot b^{k+1}.\]

5. Рассмотрим выражение:
\[C_k^m+C_k^{m+1}=\dfrac{k!}{m!\cdot (k-m)!}+\dfrac{k!}{(m+1)!\cdot (k-m-1)!}=\]\[=\dfrac{k!}{m!\cdot (k-m-1)!}\cdot \bigg[\dfrac{1}{k-m}+\dfrac{1}{m+1}\bigg]=\]\[=\dfrac{k!}{m!\cdot (k-m-1)!}\cdot \dfrac{(m+1+k-m)}{(k-m)(m+1)}=\]\[=\dfrac{(k+1)!}{(m+1)!\cdot (k-m)!}=C_{k+1}^{m+1}.\]

Учтем, что \(C_k^0=1=C_{k+1}^0\), \(C_k^{k+1}=1=C_{k+1}^{k+1}.\)

Тогда наше выражение примет форму:
\[(a+b)^{k+1}=C_{k+1}^0\cdot a^{k+1}+a^kb\cdot C_{k+1}^{1} +a^{k-1}b^{2}\cdot C_{k+1}^{2}+a^{k-2}b^{3}\cdot C_{k+1}^{3}+\ldots\]\[\ldots+a^3b^{k-2}\cdot C_{k+1}^{k-2}+a^2b^{k-2}\cdot C_{k-1}^{k-1}+ab^{k}\cdot C_{k+1}^{k}+C_{k+1}^{k+1}\cdot b^{k+1},\] что в полной мере соответствует изначальному предположению.