В закрытой коробке, имеющей форму куба со стороной 5, лежат два шара. Радиус первого из них равен 2. Этот шар касается плоскости основания и двух соседних боковых граней куба. Второй шар касается двух других боковых граней куба, плоскости основания и первого шара. Чему равен радиус второго шара?

Решение

Обозначим радиус второго шара за \(r\). \(O_1\) и \(O_2\) \(-\) центры первого и второго шаров соответственно.
Рассмотрим \(\href{https://examp.info/onedef/ortogonalnaya-proekciya/}{\text{проекцию}}\) на плоскость основания куба. \(O_1'\) и \(O_2'\) \(-\) проекции центров шаров.
\(AC = 5\sqrt{2}, AO_1' = 2\sqrt{2}, O_2' C = r\sqrt{2}\ \Rightarrow\ O_1' O_2' = 3\sqrt{2} - r\sqrt{2}.\)
Теперь рассмотрим диагональное сечение куба \(ACC_1 A_1.\) \(H\) \(-\) проекция центра второго шара \(O_2\) на отрезок \(O_1 O_1'.\) Очевидно, \(O_2 H = O_1' O_2' = 3\sqrt{2} - r\sqrt{2}. \)
По \(\href{https://examp.info/theorem/pifagora/}{\text{теореме Пифагора }}\) в прямоугольном треугольнике \(O_1 H O_2\):
\[(2-r)^2 + (3\sqrt{2} - r\sqrt{2})^2 = (2+r)^2.\] Решая его, находим: \(r = 1\) либо \(r=9\). Последний случай невозможен, так как длина куба равна 5. Следовательно, радиус второго шара \(r = 1\).

Ответ: \(1\).