Окружность касается сторон \(AB\) и \(BC\) треугольника \(ABC\) в точках \(K\) и \(L\), соответственно, и пересекает сторону \(AC\) в точках \(M\), \(N\) (точка \(M\) лежит между точками \(A\) и \(N\)). Найдите радиус этой окружности, если известно, что \(AM = 1\), \(NC = 3\), \(AK:KB = 2:1\) и \(BL:LC = 1:4.\)

Решение

Обозначим \(BK = x\), \(O\) - центр окружности. Так как \(BK, BL - \) касательные к окружности из одной точки, то они равны. Теперь можем обозначить \(AK = 2x,\quad LC = 4x\). Обозначим \(MN = z.\)

\(\href{https://examp.info/theorem/o-sekushej-i-kasatelnoj/}{\text{Тогда по теореме для секущей и касательной}}\) для касательной \(LC\) и секущей \(CM\) получим, что \(16x^2 = 9+3z\). Аналогично для \(AK\) и \(AN\) получим, что \(4x^2 = 1+z\).

Решая эту систему уравнений получим \(z = 5, x=\sqrt{\frac{3}{2}}\). Тогда отрезок \(AN = 6, \frac{AC}{AN}=\frac{AB}{AK}=\frac{3}{2},\) а сторона \(BC = 5\cdot\sqrt{\frac{3}{2}}.\)

Треугольник \(AKN\) подобен треугольнику \(ABC\) \(\Rightarrow \angle{ABC} = \alpha = \angle{AKN}.\)

Треугольник \(KON\) - равнобедренный, его сторонами будут радиусы \(R\) окружности. Углами при основании \(KN\) будут \(90-\alpha \rightarrow \angle{KON} = 2\alpha\). Сторона \(KN\) из подобия треугольников равна \(5\cdot\sqrt{\frac{3}{2}}\cdot\frac{2}{3}=5\cdot\sqrt{\frac{2}{3}}.\)

По \(\href{https://examp.info/theorem/o-storonah-parallelogramma/}{\text{теореме косинусов}}\) в треугольнике \(KON: KN^2=R^2+R^2-2R^2\cdot \cos 2\alpha = 2R^2\cdot(1-\cos 2\alpha)\).
Рассмотрим четырёхугольник \(KBLO\). Углы \(BKO, BLO\) - прямые, а значит \(\angle{KOL} = 180-\alpha.\)

По \(\href{https://examp.info/theorem/o-storonah-parallelogramma/}{\text{теореме косинусов}}\) в треугольнике \(KOL: KL^2=2R^2\cdot(1-\cos (180-\alpha)) = 2R^2\cdot(1+cos\alpha)\).
Так же по \(\href{https://examp.info/theorem/o-storonah-parallelogramma/}{\text{теореме косинусов}}\) в треугольнике \(KBL:
KL^2=2x^2(1-\cos \alpha) = 3\cdot(1-\cos \alpha)\).

Тогда получим, что \(2R^2 = \dfrac{KN^2}{(1-\cos 2\alpha)}=\dfrac{\frac{50}{3}}{(1-\cos 2\alpha)} = \dfrac{3\cdot(1-\cos \alpha)}{(1+cos\alpha)}.\)

Откуда получаем, что \[(1+\cos \alpha)=\frac{9}{50}\cdot(1-\cos \alpha)\cdot(2-2\cos^2 \alpha) = \]\[=\frac{9}{25}\cdot(1-\cos \alpha)(1-\cos^2\alpha)=\]\[=\frac{9}{25}\cdot(1-\cos \alpha)(1-\cos\alpha)(1+\cos\alpha) \Rightarrow (1-\cos\alpha)^2=\frac{25}{9}\] \[\cos \alpha = 1-\frac{5}{3}=-\frac{2}{3}.\] Выбираем \(\frac{5}{3}\), так как в ином случае косинус должен был быть меньше -1. Тогда \(R^2 = \frac{3}{2}\cdot\frac{\frac{5}{3}}{\frac{1}{3}} \Rightarrow R = \sqrt{\frac{15}{2}}.\)

Ответ: \(\sqrt{\frac{15}{2}}\).