Дана возрастающая арифметическая прогрессия, состоящая из положительных чисел. Произведение третьего и четвёртого членов этой прогрессии в два раза больше произведения первого и шестого её членов. Найдите разность этой прогрессии, если известно, что восьмой её член равен \(32\).

Решение

Обозначим \(n\)-ый член и разность прогрессии \(a_{n}\) и \(d\) соответственно. Воспользуемся формулой \(n\)-ого члена арифмитической прогрессии \begin{equation*}
a_{n}=a_{1}+d\cdot(n-1).
\end{equation*} Так как \(a_{3} \cdot a_{4} = 2a_{1} \cdot a_{6}\) и \(a_{8}=32\), получим, что
\begin{equation*}
(a_{1}+2d)\cdot(a_{1}+3d)=2a_{1}\cdot(a_{1}+5d),
\end{equation*}\begin{equation*}
a_{1}+7d = 32,
\end{equation*}\begin{equation*}
a_{1}^2+5da_{1}+6d^2=2a_{1}^2+10da_{1}.
\end{equation*} Получаем, что \begin{equation*}
a_{1}^2+5da_{1}-6d^2 = 0,
\end{equation*} И тогда \(a_{1}=-6d\) или \(a_{1}=d\), причём первый вариант не подходит в силу возрастания последовательности.
Подставим найденное значение в выражение для \(8\)-го члена и получим, что \begin{equation*}
8d = 32 \Rightarrow d = 4 \Rightarrow a_{1} = 4.
\end{equation*}

Ответ: 4.