Определите, при каких значениях параметра \(a\) уравнение \( a\sqrt{x + y} = \sqrt{3x} + 2\sqrt{y} \) имеет единственное решение \((x, y).\)

Решение

Определите, при каких значениях параметра \(a\) уравнение \( a\sqrt{x + y} = \sqrt{3x} + 2\sqrt{y} \) имеет единственное решение \((x, y).\)

При любом \(a\) есть нулевое решение \(x=y=0.\)

Предположим, что есть ненулевое. Тогда \(x+y > 0\), и можно разделить на \(\sqrt{x+y}.\) Получится \(a=\sqrt{3}u+2v\), где \(u=\sqrt{\dfrac{x}{x+y}}\), \(v=\sqrt{\dfrac{y}{x+y}}\) \(-\) неотрицательные числа, удовлетворяющие условию \(u^2+v^2=1\). Тогда \(\href{https://examp.info/theorem/vspomogatelnogo-ugla/}{\text{по методу вспомогательного угла}}\) можно записать их в виде косинуса и синуса некоторого угла \(t\), и получится \(a=\sqrt{3} \cos t +2 \sin t = \sqrt{7} \cos (t-\phi) \) для некоторого фиксированного угла \(\phi.\)

С другой стороны, \(u+v \geqslant 1\), что проверяется возведением в квадрат, откуда \(a \geqslant \sqrt{3}(u+v) \geqslant \sqrt{3}.\) Значения \( \sqrt{3}\) и \( \sqrt{7}\) здесь достигаются, и ввиду непрерывности, достигается любое промежуточное значение.

Единственность имеет место при \((-\infty; \sqrt{3}) \cup (\sqrt{7}; +\infty).\)

Ответ: \((-\infty; \sqrt{3}) \cup (\sqrt{7}; +\infty)\).