Решите систему неравенств: \( \left\{ \begin{array}{l} 2x^2 + 4xy + 11y^2 \leqslant 1, \\ 4x + 7y \geqslant 3. \end{array} \right.\)

Решение

Если оба неравенства выполнены, то из второго неравенства следует:
\begin{equation*}
x \geqslant \frac{3 - 7y}{4}.
\end{equation*}
Рассмотрим два случая:

1. \(|x| \geqslant \left|\dfrac{3-7y}{4}\right|.\)

Благодаря этому неравенству мы можем получить следующую оценку:
\begin{equation*}
2x^2 + 4xy + 11y^2 \geqslant 2 \cdot \frac{(3-7y)^2}{16} + 4\cdot y \cdot \frac{3-7y}{4} + 11y^2 = \frac{(9y -1)^2 + 8}{8} \geqslant 1.
\end{equation*}
Значит первое неравенство может быть истинным только в случае достижения единицы, то есть \[\frac{(9y -1)^2 + 8}{8} = 1.\]
Откуда получаем \(y = \dfrac{1}{9}\). Подставляя это значение в первое неравенство и зная, что на самом деле достигается равенство, получаем \(x = \dfrac{5}{9}\) или \(x =-\dfrac{7}{9}\). Но второму неравенству удовлетворяет только \(x = \dfrac{5}{9}\).

2. \(|x| < \left|\dfrac{3-7y}{4}\right|\ \Rightarrow\ \dfrac{3-7y}{4}<0\ \Rightarrow\ y>\dfrac{3}{7}.\)
Тогда первое выражение можно оценить следующим образом:
\[ 2x^2 + 4xy + 11y^2 > 2x^2 + \dfrac{12}{7}x + \dfrac{99}{49} = \dfrac{2(7x+3)^2 + 71}{49} > 1.\]
Получается, первое неравенство не выполняется, то есть во втором случае решений нет.

Ответ: \(x=\dfrac{5}{9}, y=\dfrac{1}{9}\).