Найдите наибольшее из значений функции \(f(x) = \dfrac{6^x}{9^{x + 1} + 6^x + 4^{x-1}}\) и точку \(x\), в которой это значение достигается.

Решение

\(\textbf{Решение 1}\)
Преобразуем функцию \[ \dfrac{6^x}{9^{x + 1} + 6^x + 4^{x - 1}} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{6^x}(9^{x + 1} + 6^x + 4^{x - 1})} = \dfrac{1}{9 \left(\dfrac{3}{2}\right)^x + 1 + \dfrac{1}{4} \left(\dfrac{2}{3}\right)^x }.\]
Обозначим \(\left(\dfrac{3}{2}\right)^x = t\), \(g(t) = 9t + 1 + \dfrac{1}{4t} \).
Чтобы изначальная функция имела наибольшее значение, нужно найти наименьшее значение знаменателя \(g(t)\) .
Посмотрим на производную \(g(t)\): \(g'(t) = 9 - \dfrac{1}{4t^2}\). Она равна 0 в точках \(t = \pm \dfrac{1}{6}\). Переменная \(t\) неотрицательна, при \(t \in \left(0; \dfrac{1}{6}\right)\) производная \(g'(t)\) принимает отрицательные значения, а при \(t > \dfrac{1}{6}\) \(-\) положительные, т.е. точка \(t = \dfrac{1}{6}\) \(-\) \(\href{https://examp.info/onedef/ekstremum/}{\text{точка минимума}}\).
Подставим это значение: \(g\left(\dfrac{1}{6}\right) = 9\cdot \dfrac{1}{6} + 1 + \dfrac{6}{4} = 2 \cdot \dfrac{3}{2} + 1 = 4.\) Значит максимальное значение первоначальной функции \(\dfrac{1}{4}\).
Найдем \(x\), при котором достигается нужное значение: \( \left(\dfrac{3}{2}\right)^x = \dfrac{1}{6}.\) Значит \(x = \log_{\frac{3}{2}} \dfrac{1}{6} = -\log_{\frac{3}{2}} 6.\)

\(\textbf{Решение 2}\)
Рассмотрим знаменатель и воспользуемся \(\href{https://examp.info/onedef/neravenstvo-o-srednem-arifmeticheskom-i-srednem-geometricheskom/}{\text{неравенством о средних}} \):
\(9t + \frac{1}{4t} \geqslant 2 \sqrt{\frac{9t}{4t}} = 3\). Тогда выражение в знаменателе не меньше 4. Следовательно вся дробь не более \(\frac{1}{4}\). Так как нам нужно наибольшее значение, то оно достигается в \(\frac{1}{4}\).
Решим такое уравнение: \[
9t + \frac{1}{4t} = 3;\] \[
36t^2 - 12t + 1 = 0;\] \[
(6t - 1)^2 = 0.\]
Значит, наибольшее значение достигается при \(t = \frac{1}{6}\).
Нахождение \(x\) можно посмотреть в решении 1.

Ответ: \(f_{max}=\dfrac{1}{4}; x=-\log_{\frac32} 6\).