Окружности \(\Omega_1\) и \(\Omega_2\) с центрами в точках \(O_1\) и \(O_2\) касаются внешним образом в точке \(A\). Общая внешняя касательная к этим окружностям касается \(\Omega_1\) в точке \(B\) и пересекает в точке \(C\) общую касательную этих окружностей, проходящую через точку \(A\). Прямая, делящая угол \(ACO_1\) пополам, пересекает прямые \(O_1O_2\) и \(BO_1\) в точках \(L\) и \(D\) соответственно. Найдите \(CO_2\), если известно, что \(LO_1 = 2\), а прямые \(CO_2\) и \(DO_2\) перпендикулярны.
В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 1. Высота призмы равна \(\sqrt{7}\). Найдите расстояния между большой диагональю призмы и скрещивающейся с ней диагональю боковой грани.
Пусть: \[\begin{array}{l} f(x, y) = \sqrt{-5x^2 - 13y^2 - 16xy + 2} + y, \\ g(x, y) = -\sqrt{-5x^2 - 13y^2 - 16xy + 2} + y. \end{array} \] Найдите все значения, которые может принимать хотя бы одна из этих функций.
Окружности \(\Omega_1\) и \(\Omega_2\) с центрами в точках \(O_1\) и \(O_2\) касаются внешним образом в точке \(A\). Общая внешняя касательная к этим окружностям касается \(\Omega_1\) и \(\Omega_2\) соответственно в точках \(B_1\) и \(B_2\). Общая касательная к окружностям, проходящая через точку \(A\), пересекает отрезок \(B_1B_2\) в точке \(C\). Прямая, делящая угол \(ACO_2\) пополам, пересекает прямые \(O_1B_1\), \(O_1O_2\), \(O_2B_2\) в точках \(D_1, L, D_2\) соответственно. Найдите отношение \(CD_1:CO_1\), если известно, что \(LD_2 = O_2D_2\).
В основании прямой призмы лежит правильный треугольник со стороной 2. Высота призмы равна \(\sqrt{3}\). Найдите расстояния между скрещивающимися диагоналями боковых граней.
Пусть \(\) \begin{array}{ccr} f(x, y) & = & \sqrt{-5x^2 - 17y^2 - 18xy + 12} + y, \\ g(x, y) & = & -\sqrt{-5x^2 - 17y^2 - 18xy + 12} + y. \end{array} \(\) Найдите все значения, которые может принимать хотя бы одна из этих функций.
Окружности \(\Omega_1\) и \(\Omega_2\) с центрами в точках \(O_1\) и \(O_2\) касаются внешним образом в точке \(A\). Общая внешняя касательная к этим окружностям касается \(\Omega_1\) в точке \(B\) и пересекает в точке \(C\) общую касательную этих окружностей, проходящую через точку \(A\). Прямая, делящая угол \(ACO_1\) пополам, пересекает прямые \(O_1O_2\) и \(BO_1\) в точках \(L\) и \(D\) соответственно. Найдите \(LO_1\), если известно, что \(CO_2 = 2\), а прямые \(CO_2\) и \(DO_2\) перпендикулярны.
В основании \(\href{https://examp.info/onedef/prizma/}{\text{прямой призмы}}\) лежит квадрат со стороной 1. Высота призмы равна \(\sqrt{3}\). Найдите расстояния между большой диагональю призмы и \(\href{https://examp.info/onedef/skreshivayushiesya-pryamye/}{\text{скрещивающейся}}\) с ней диагональю боковой грани.
Пусть \[ \begin{array}{ccr} f(x, y) & = & \sqrt{-6x^2 - 11y^2 - 16xy + 5} + y, \\ g(x, y) & = & -\sqrt{-6x^2 - 11y^2 - 16xy + 5} + y. \end{array}\] Найдите все значения, которые может принимать хотя бы одна из этих функций.
Окружность радиуса \(3/2\) касается середины стороны \(BC\) треугольника \(ABC\) и пересекает сторону \(AB\) в точках \(D\) и \(E\), так что \(AD:DE:EB = 1:2:1\). Чему может равняться \(AC\), если \(\angle BAC = 30^{\circ}\)?
Велосипедист Василий выехал из пункта А в пункт Б. Проехав треть пути, Василий наткнулся на выбоину, вследствие чего велосипед безнадежно вышел из строя. Не теряя времени, Васлилий бросил сломавшийся велосипед и пошел пешком обратно в пункт А за новым велосипедом. В момент поломки из пункта А выехал мотоциклист Григорий. На каком расстоянии от пункта А он встетит Василия, если пункт Б отстоит от пункта А на 4 км, а Василий доберется до пункта А тогда же, когда Григорий до пункта Б? Скорости велосипеда, мотоциклиста и пешехода считать постоянными.
В правильную треугольную призму с основаниями \(ABC\), \(A'B'C'\) и ребрами \(AA'\), \(BB'\), \(CC'\) вписана сфера. Найдите ее радиус, если известно, что расстояние между прямыми \(AE\) и \(BD\) равно \(\sqrt{13}\), где \(E\) и \(D\) – точки, лежащие на \(A'B'\) и \(B'C'\) соответственно, и \(A'E : EB' = B'D : DC' = 1 : 2\).
Окружность радиуса \(2\) касается середины стороны \(AC\) треугольника \(ABC\) и пересекает сторону \(BC\) в точках \(K\) и \(L\), так что \(BK = KL = LC\). Чему может равняться \(AB\), если \(\angle ABC = 45^{\circ}\)?
Лыжник Григорий ехал по довольно пологому склону, но, проехав две трети пути, проявил неуклюжесть и сломал лыжи. Отбросив из за ненадобностью, он тут же побрел обратно. В момент поломки с вершины горы стартовал лыжник Василий и, проехав \(800\) метров, встретил Григория. Найдите длину трассы, если известно, что Василий закончил спуск ровно тогда, когда Григорий добрался до вершины горы. Скорости лыжников и пешехода считать постоянными.
В правильную треугольную призму с основаниями \(ABC\), \(A'B'C'\) и ребрами \(AA'\), \(BB'\), \(CC'\) вписана сфера радиуса \(\sqrt{21}\). Найдите расстояние между прямыми \(A'K\) и \(B'L\), где \(K\) и \(L\) – точки, лежащие на \(AB\) и \(BC\) соответственно, и \(AK:KB = BL:LC = 2:3\).
Окружность касается середины стороны \(BC\) треугольника \(ABC\) и пересекает сторону \(AB\) в точках \(D\) и \(E\), так что \(AD:DE:EB = 1:2:1\). Чему может равняться радиус окружности, если \(\angle BAC = 30^{\circ}\) и \(AC = 2/3\)?
Велосипедист Василий выехал из пункта А в пункт Б. Проехав четверть пути, Василий наткнулся на выбоину, вследствие чего велосипед безнадежно вышел из строя. Не теряя времени, Васлилий бросил сломавшийся велосипед и пошел пешком обратно в пункт А за новым велосипедом. В момент поломки из пункта А выехал мотоциклист Григорий и, проехав 4 км, встретил Василия. Найдите расстояние между пунктами А и Б, если известно, что Василий добрался до пункта А тогда же, когда Григорий до пункта Б. Скорости велосипеда, мотоцикла и пешехода считать постоянными.
В правильную треугольную призму с основаниями \(ABC\), \(A_1B_1C_1\) и ребрами \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\) вписана сфера радиуса \(\sqrt{13}\). Найдите расстояние между прямыми \(AE\) и \(BD\), где \(E\) и \(D\) — точки, лежащие на \(A_1B_1\) и \(B_1C_1\) соответственно, и \(A_1E:EB_1 = B_1D:DC_1 = 1:2\).
Окружность касается середины стороны \(AC\) треугольника \(ABC\) и пересекает сторону \(BC\) в точках \(K\) и \(L\), так что \(BK = KL = LC\). Чему может равняться радиус окружности, если \(\angle ABC = 45^{\circ}\) и \(AB = 1\)?
Лыжник Григорий ехал по довольно пологому склону, но, проехав три четверти пути, проявил неуклюжесть и сломал лыжи. Отбросив их за ненадобностью, он тут же побрел обратно. В момент поломки с вершины горы стартовал лыжник Василий. На каком расстоянии от вершины он встретит Григория, если длина трассы равна 2100 метров, а Василий закончит спуск ровно тогда, когда Григорий доберется до вершины горы? Скорости лыжников и пешехода считать постоянными.
В правильную треугольную призму с основаниями \(ABC\), \(A'B'C'\) и ребрами \(AA'\), \(BB'\), \(CC'\) вписана сфера. Найдите ее радиус, если известно, что расстояние между прямыми \(A'K\) и \(B'L\) равно \(\sqrt{21}\), где \(K\) и \(L\) – точки, лежащие на \(AB\) и \(BC\) соответственно, и \(AK:KB = BL:LC = 2:3\).
Разность между наибольшим и наименьшим корнями уравнения \(x^2 + ax \hspace{0.2cm} - \hspace{0.1cm} 6 = 0\) равна 5. Найдите все возможные значения \(a.\)
Две окружности касаются внутренним образом в точке \(T\). Хорда \(AB\) внешней окружности касается внутренней окружности в точке \(S\). Прямая \(TS\) пересекает внешнюю окружность в точках \(T\) и \(C\). Найдите площадь четырехугольника \(TACB\), если известно, что \(CB = BT = 3\), а радиусы окружностей относятся как \(5:8\).
Ровно в \(9:00\) из пункта А в пункт Б выехал автомобиль. Проехав две трети пути, наблюдательный водитель автомобиля заметил, что мимо него в сторону пункта А проехал некий велосипедист. В тот самый момент, когда автомобиль прибыл в пункт Б, из пункта Б в пункт А выехал автобус. Когда до пункта А оставалось две пятых пути, не менее наблюдательный водитель автобуса заметил, что он поравнялся с тем самым велосипедистом. Во сколько приедет велосипедист в пункт А, если известно, что автобус прибыл в пункт А ровно в \(11:00\)? Скорости велосипедиста, автомобиля и автобуса считать постоянными.
В основании правильной пирамиды с вершиной \(S\) лежит шестиугольник \(ABCDEF\) со стороной 14. Плоскость \(\pi\) параллельна ребру \(AB\), перпендикулярна плоскости \(DES\) и пересекает ребро \(BC\) в точке \(K\), так что \(BK:KC = 3:4.\) Кроме того, прямые, по которым \(\pi\) пересекает плоскости \(BCS\) и \(AFS\), параллельны. Найдите площадь треугольника, отсекаемого плоскостью \(\pi\) от грани \(CDS\).
Найдите наименьшее значение выражения \[\sqrt{106 + \log_a^2 \cos xa + \log_a \cos^{10} xa} + \sqrt{58 + \log_a^2 \sin xa \hspace{0.1cm}- \log_a \sin^{6} xa} + \\ +\sqrt{5 + \log_a^2 \mathop{\mathrm{tg}} xa +\log_a \mathop{\mathrm{tg}^{2}} xa} \] и все пары \((a, x)\), при которых оно достигается.
Две окружности касаются внутренним образом в точке \(A\). Хорда \(BC\) внешней окружности касается внутренней окружности в точке \(D\). Прямая \(AD\) пересекает внешнюю окружность в точках \(A\) и \(E\). Найдите \(BE\), если известно, что \(EC = CA\), площадь четырехугольника \(ABEC\) равна \(3\sqrt{3}\), а радиусы окружностей относятся как \(2:3\).
Ровно в \(10\):\(00\) из пункта А в пункт Б выехала маршрутка. Проехав треть пути, наблюдательный водитель маршрутки заметил, что мимо него в сторону пункта А проехал некий велосипедист. В тот самый момент, когда маршрутка прибыла в пункт Б, из пункта Б в пункт А выехал грузовик. Когда до пункта А оставалось шестая часть пути, не менее наблюдательный водитель грузовика заметил, что он поравнялся с тем самым велосипедистом. Во сколько приехал грузовик в пункт А, если известно, что велосипедист прибыл в пункт А ровно в \(15\):\(00\)? Скорости велосипедиста, маршрутки и грузовика считать постоянными.
В основании правильной пирамиды с вершиной \(V\) лежит шестиугольник \(KLMNOP\) со стороной 5. Плоскость \(\pi\) параллельна ребру \(KL\), перпендикулярна плоскости \(NOV\) и пересекает ребро \(LM\) в точке \(T\), так что \(LT:TM = 3:2\). Кроме того, прямые, по которым \(\pi\) пересекает плоскость \(LMV\) и плоскость основания, перпендикулярны. Найдите площадь треугольника, отсекаемого плоскостью \(\pi\) от грани \(MNV\).
Найдите наименьшее значение выражения \[\sqrt{13 + \log_a^2 \cos \frac xa + \log_a \cos^{4} \frac xa} + \sqrt{97 + \log_a^2 \sin \frac xa - \log_a \sin^{8} \frac xa} + \\ +\sqrt{20 + \log_a^2 \mathop{\mathrm{tg}} \frac xa +\log_a \mathop{\mathrm{tg}^{4}} \frac xa} \] и все пары \((a, x)\), при которых оно достигается.
Две окружности касаются внутренним образом в точке \(S\). Хорда \(AB\) внешней окружности касается внутренней окружности в точке \(T\). Прямая \(TS\) пересекает внешнюю окружность в точках \(S\) и \(C\). Найдите площадь четырехугольника \(SACB\), если известно, что \(CA = 5\), \(CB \parallel AS\), а радиусы окружностей относятся как \(11:16\).
Ровно в \(11:00\) из пункта А в пункт Б выехал велосипедист. Проехав две пятых пути, наблюдательный велосипедист заметил, что мимо него в сторону пункта А прошел некий пешеход. В тот самый момент, когда велосипедист прибыл в пункт Б, из пункта Б в пункт А выехал мотоциклист. Когда до пункта А оставалось две седьмых пути, не менее наблюдательный мотоциклист заметил, что он поравнялся с тем самым пешеходом. Во сколько придет пешеход в пункт А, если известно, что мотоциклист прибыл в пункт А ровно в \(12:00\)? Скорости пешехода, велосипедиста и мотоциклиста считать постоянными.
В основании правильной пирамиды с вершиной \(S\) лежит шестиугольник \(ABCDEF\) со стороной 20. Плоскость \(\pi\) параллельна ребру \(BC\), перпендикулярна плоскости \(EFS\) и пересекает ребро \(CD\) в точке \(K\), так что \(CK:KD = 2:3\). Кроме того, прямые, по которым \(\pi\) пересекает плоскости \(CDS\) и \(ABS\), параллельны. Найдите площадь треугольника, отсекаемого плоскостью \(\pi\) от грани \(DES\).
Две окружности касаются внутренним образом в точке \(P\). Хорда \(QR\) внешней окружности касается внутренней окружности в точке \(S\). Прямая \(PS\) пересекает внешнюю окружность в точках \(P\) и \(T\). Найдите \(QT\), если известно, что \(PQ \parallel RT\), площадь четырехугольника \(PQTR\) равна \(5\sqrt{5}\), а радиусы окружностей относятся как \(7:10\).
Ровно в \(13:00\) из пункта А в пункт Б выехал мотоциклист. Проехав четверть пути, наблюдательный мотоциклист заметил, что мимо него в сторону пункта А прошел некий пешеход. В тот самый момент, когда мотоциклист прибыл в пункт Б, из пункта Б в пункт А выехал автомобиль. Когда до пункта А оставалось пятая часть пути, не менее наблюдательный водитель автомобиля заметил, что он поравнялся с тем самым пешеходом. Во сколько приехал автомобиль в пункт А, если известно, что пешеход прибыл в пункт А ровно в \(17:00\)? Скорости пешехода, мотоциклиста и автомобиля считать постоянными.
В основании правильной пирамиды с вершиной \(V\) лежит шестиугольник \(KLMNOP\) со стороной 10. Плоскость \(\pi\) параллельна ребру \(LM\), перпендикулярна плоскости \(OPV\) и пересекает ребро \(MN\) в точке \(T\), так что \(MT : TN = 1 : 4\). Кроме того, прямые, по которым \(\pi\) пересекает плоскость \(MNV\) и плоскость основания, перпендикулярны. Найдите площадь треугольника, отсекаемого плоскостью \(\pi\) от грани \(NOV\).
Через вершины \(A\) и \(B\) треугольника \(ABC\) проведена окружность, касающаяся прямых \(AC\) и \(BC\). На этой окружности выбрана точка \(D\) (внутри треугольника), лежащая на расстоянии \(\sqrt{2}\) от прямой \(AB\) и на расстоянии \(\sqrt{5}\) от прямой \(BC\). Найдите угол \(\angle DBC\), если известно, что \(\angle ABD = \angle BCD\).
Василий с друзьями решили устроить пикник. Для этого им от пункта \(A\) нужно добраться вниз по реке до пункта \(B\), причем в их распоряжении есть два катера. Считая себя самым ответственным, Василий вызвался самостоятельно доехать до пункта \(B\) на более быстроходном катере и начать готовить место для пикника. Оба катера вышли одновременно из пункта \(A\). Однако, промчавшись восемь километров, Василий заметил на берегу машущего ему рукой Григория, который просил по старой дружбе довезти его до пункта \(C\). И хоть пункт \(C\) Василий уже проехал, он согласился. По пути в пункт \(C\) Василий с Григорием встретили идущий навстречу второй катер с друзьями Василия, откуда те крикнули, что им до пункта \(B\) осталась треть пути и чтобы Василий нигде не задерживался. Доставив Григория в пункт \(C\), Василий немедленно помчался догонять друзей. Найдите расстояние между пунктами \(B\) и \(C\), если известно, что оба катера пришли в пункт \(B\) одновременно, скорости катеров постоянны, а Василий, действительно, нигде не задерживался.
Из вершины \(D\) на плоскость основания \(ABC\) пирамиды \(ABCD\) опущена высота \(DH\). Найдите объем этой пирамиды, если известно, что площади треугольников \(\Delta HBC\), \(\Delta HAC\), \(\Delta HAB\) равны соответственно \(\dfrac 29\), \(\dfrac 13\), \(\dfrac 49\) и что все три плоских угла при вершине \(D\) прямые.
Через вершины \(K\) и \(L\) треугольника \(KLM\) проведена окружность, касающаяся прямых \(KM\) и \(LM\). На этой окружности выбрана точка \(S\) (внутри треугольника), лежащая на расстоянии 1 от прямой \(KL\). Найдите расстояние от точки \(S\) до прямой \(LM\), если известно, что \(\angle KLS = \angle LMS\) и что \(\angle SLM = 45^{\circ}\).
Анатолий с друзьями решили устроить пикник. Для этого им от пункта А нужно добраться вверх по реке до пункта В, причем в их распоряжении есть два катера. Считая себя самым ответственным, Анатолий вызвался самостоятельно доехать до пункта В на более быстроходном катере и начать готовить место для пикника. Оба катера вышли одновременно из пункта А. Однако, промчавшись восемь километров, Анатолий заметил на берегу машущего ему рукой Бориса, который просил по старой дружбе довезти его до пункта С. И хоть пункт С Анатолий уже проехал, он согласился. По пути в пункт С Анатолий с Борисом встретили идущий навстречу второй катер с друзьями Анатолия, откуда те крикнули, что пункт В уже совсем близко и чтобы Анатолий нигде не задерживался. Доставив Бориса в пункт С, Анатолий немедленно помчался догонять друзей. Определите, какую долю пути оставалось пройти друзьям Анатолия от момента встречи с ним и Борисом, если известно, что оба катера пришли в пункт В одновременно, расстояние между пунктами В и С равно 2 км, скорости катеров постоянны, а Анатолий, действительно, нигде не задерживался.
Из вершины \(S\) на плоскость основания \(KLM\) пирамиды \(KLMS\) опущена высота \(SH\). Найдите объём этой пирамиды, если известно, что площади треугольников \(\Delta HLM, \, \Delta HKM, \, \Delta HKL\) равны соответственно \(\frac{2}{10}, \, \frac{3}{10}, \, \frac{1}{2}\), и что все три плоских угла при вершине \(S\) прямые.