Разность между наибольшим и наименьшим корнями уравнения \(x^2 + ax + 10 = 0\) равна 3. Найдите все возможные значения \(a\).

Решение

Дискриминант данного квадратного трёхчлена: \(\quad D = a^2 - 40.\)

Если дискриминант больше нуля, уравнение будет иметь два различных корня: \(\ x_1 = \frac{-\hspace{0.1cm}a\hspace{0.1cm} - \hspace{0.1cm}\sqrt{D}}{2} < x_2 = \frac{-\hspace{0.1cm}a \hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}\sqrt{D}}{2}. \)

Вычтем из большего корня меньший:\(\, x_2\hspace{0.1cm} -\hspace{0.1cm} x_1 = \frac{-\hspace{0.1cm}a\hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm}\sqrt{D}}{2} \hspace{0.1cm}- \frac{-\hspace{0.1cm}a \hspace{0.1cm}- \hspace{0.1cm}\sqrt{D}}{2} = \sqrt{D}. \)

По условию эта разность равна 3:\(\,\sqrt{D} = 3 \Rightarrow D = 9 \).

Так как \(D = a^2 - 40\), получаем: \(a^2 - 40 = 9 \quad\Leftrightarrow\quad a^2 = 49. \) \(\quad\Leftrightarrow\quad a = \pm 7.\)

Ответ: \(\pm 7\).