Разность между наибольшим и наименьшим корнями уравнения \(x^2 + ax - 10 = 0\) равна \(7.\) Найдите все возможные значения \(a\).

Решение

Вычислим дискриминант данного квадратного трёхчлена:\(D = a^2 + 40.\)

Заметим, что дискриминант всегда больше нуля \(\Rightarrow\) при любом \(a\) уравнение будет иметь два различных корня. Вычислим их с помощью явных формул: \( x_1 = \dfrac{-a - \sqrt{D}}{2}, x_2 = \dfrac{- a + \sqrt{D}}{2}.\)

Вычтем из большего корня меньший: \( x_2 - x_1 = \dfrac{- a + \sqrt{D}}{2} - \dfrac{-a - \sqrt{D}}{2} = \sqrt{D}. \)

По условию эта разность равна \(7\): \(\sqrt{D} = 7 \Rightarrow D = 49. \)
Вспоминая, что \(D = a^2 + 40\) получаем: \(a^2 + 40 = 49 \Rightarrow a^2 = 9. \)
Откуда \(a = \pm 3.\)

Ответ: \(\pm 3\).