Анатолий с друзьями решили устроить пикник. Для этого им от пункта А нужно добраться вверх по реке до пункта В, причем в их распоряжении есть два катера. Считая себя самым ответственным, Анатолий вызвался самостоятельно доехать до пункта В на более быстроходном катере и начать готовить место для пикника. Оба катера вышли одновременно из пункта А. Однако, промчавшись восемь километров, Анатолий заметил на берегу машущего ему рукой Бориса, который просил по старой дружбе довезти его до пункта С. И хоть пункт С Анатолий уже проехал, он согласился. По пути в пункт С Анатолий с Борисом встретили идущий навстречу второй катер с друзьями Анатолия, откуда те крикнули, что пункт В уже совсем близко и чтобы Анатолий нигде не задерживался. Доставив Бориса в пункт С, Анатолий немедленно помчался догонять друзей. Определите, какую долю пути оставалось пройти друзьям Анатолия от момента встречи с ним и Борисом, если известно, что оба катера пришли в пункт В одновременно, расстояние между пунктами В и С равно 2 км, скорости катеров постоянны, а Анатолий, действительно, нигде не задерживался.

Решение

\(\textbf{Решение 1 (аналитическое)}.\)

Пусть \(v_1\) \(-\) скорость медленного катера относительно берега, \(v_2\) и \(v_3\) \(-\) скорости быстрого катера относительно берега при движении вверх и вниз по реке соответственно. Пусть \(t_1\) \(-\) время между общим стартом и встречей Анатолия и Бориса, \(t_2\) \(-\) время между встречей Анатолия и Бориса и их встречей со вторым катером, \(t_3\) \(-\) время между встречей со вторым катером и прибытием в пункт \(C\) и \(t_4\) \(-\) время, ушедшее у Анатолия на дорогу от пункта \(C\) до пункта \(B\). Обозначим также буквой \(X\) место промежуточной встречи катеров, буквой \(D\) место встречи Анатолия и Бориса, а буквой \(r -\) отношение \(BX/AB\).Тогда расстояние от \(A\) до \(X\) равно, с одной стороны, \(v_1(t_1+t_2)\) а с другой \(v_2 t_1 \ -v_3 t_2\). Аналогично, расстояние от \(X\) до \(B\) равно, с одной стороны, \(v_1(t_3+t_4)\), а с другой \(v_2 t_4 \ -v_3 t_3\). При этом выполняется соотношение
\[\left\{ \begin{array}{lcl} r \cdot \left( t_1+t_2 \right) = \left( r - 1 \right) \cdot \left( t_3+t_4 \right), \\
r \cdot \left( v_2 t_1\ - v_3 t_2 \right) = \left( r - 1 \right) \cdot \left( v_2 t_4\ -v_3 t_3 \right); \end{array} \right.
\Leftrightarrow
\left\{ \begin{array}{lcl} t_1\ - \left(\dfrac{1 - r}{r}\right) \cdot t_4= \left(\dfrac{1 - r}{r}\right) \cdot t_3\ -t_2, \\
t_1\ - \left(\dfrac{1 - r}{r}\right) \cdot t_4 = \left( t_2\ - \left(\dfrac{1 - r}{r}\right) \cdot t_3 \right)\dfrac{v_3}{v_2}. \end{array} \right.\]
Домножим первое уравнение на \(\dfrac{v_3}{v_2}\) и сложим со вторым. Получим
\[(t_1\ - \left(\dfrac{1 - r}{r}\right) \cdot t_4)\left(1+\dfrac{v_3}{v_2}\right)=0,\]
откуда \(r = \dfrac{t_4}{t_1 + t_4} \), но по условию \(AD = v_2 t_1 = 8 \)(км.) и \(BC = v_2 t_4 = 2\)(км.) , значит \(r = \dfrac{v_2 t_4}{v_2 t_1 + v_2 t_4} = \dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5}\), следовательно \(BX\) составляет \(\dfrac{1}{5}\) от всего пути.

\(\textbf{Решение 2 (геометрическое)}.\)

1) Решим задачу геометрически. Рассмотрим систему координат, в которой горизонтальная ось выражает время, прошедшее с момента старта, а вертикальная ось - расстояние от старта (см. рисунок). По условию, все скорости постоянны, поэтому зависимость расстояния от времени будет линейной. Обозначим скорость быстроходного катера по течению реки, быстроходного катера против течения реки и катера с друзьями Анатолия за \(v_1\), \(v_3\) и \(v_2\), соответственно. На графике отрезок \(AL\) соответствует движению Анатолий до Бориса, \(LK\) \(-\) движению Анатолия до пункта \(C\), \(KF\) \(-\) движению Анатолий до пункта \(B\), а \(AF\) \(-\) движению друзей от старта до места пикника.

Заметим, что отрезки \(AL\) и \(KF\) параллельны, так как оба отрезка соответствуют движению в одну сторону.

2) Точка \(O\) на графике соответствует встрече Анатолия и друзей. Рассмотрим треугольники \(ALO\) и \(FKO\): углы \(LAO\) и \(KFO\) равны, как накрест лежащие при параллельных прямых, а углы \(LOA\) и \(FOK\) равны как вертикальные. Из этого следует, что треугольники \(ALO\) и \(FKO\) \(-\) подобны, а значит \(AL:FK=AO:OF\). Также треугольники \(ADL\) и \(FHK\) подобны. Значит \(AL:FK=AD:FH=8:2=4,\) то есть \(AO:OF=4\), а это значит, что \(OF:AF=\frac{1}{5}\). То есть друзьям Анатолия оставалось пройти ровно \(\frac{1}{5}\) пути.

Ответ: Одну пятую пути от А до В.