Окружности \(\Omega_1\) и \(\Omega_2\) с центрами в точках \(O_1\) и \(O_2\) касаются внешним образом в точке \(A\). Общая внешняя касательная к этим окружностям касается \(\Omega_1\) и \(\Omega_2\) соответственно в точках \(B_1\) и \(B_2\). Общая касательная к окружностям, проходящая через точку \(A\), пересекает отрезок \(B_1B_2\) в точке \(C\). Прямая, делящая угол \(ACO_2\) пополам, пересекает прямые \(O_1B_1\), \(O_1O_2\), \(O_2B_2\) в точках \(D_1, L, D_2\) соответственно. Найдите отношение \(CD_1:CO_1\), если известно, что \(LD_2 = O_2D_2\).

Решение

Отрезки \(CB_1, CA\) и \(CB_2\) равны как \(\href{https://examp.info/theorem/o-kasatelnyh/}{\text{отрезки касательных}}\). Следовательно, \(\triangle O_1CB_1 = \triangle O_1CA,\) \(\triangle O_2CB_2 = \triangle O_2CA\)(по трём равным сторонам). Значит, \(CO_1\) и \(CO_2\) суть биссектрисы углов \(ACB_1\) и \(ACB_2\) и, таким образом образуют прямой угол. Стало быть, \(\angle LCO_1 = 90^{\circ} - \angle LCO_2 = 90^{\circ} - \angle LCA = \angle CLA,\) то есть \[\angle D_1LO_1 = \angle LCO_1.\]
\(\triangle O_2LD_2 \sim \triangle O_1LD_1,\) т. к. \(\angle O_2LD_2 = \angle O_1LD_1\) как вертикальные и \(\angle O_2D_2L = \angle O_1D_1L\) как накрестлежащие углы при параллельных прямых \(B_2D_2, B_1D_1\)(их параллельность следует из того, что обе эти прямые перпендикулярны касательной \(B_1B_2\)) и секущей \(D_1D_2\). Значит, \(LD_1 = O_1D_1.\)
Таким образом\[LD_1 = O_1D_1. \Leftrightarrow \angle D_1O_1L = \angle D_1LO_1. \Leftrightarrow\]\[\Leftrightarrow \angle D_1O_1C = \dfrac{1}{2}\angle D_1O_1L = \dfrac{1}{2}\angle D_1LO_1 = \dfrac{1}{2}\angle LCO_1 =\]\[= \dfrac{1}{2}(\angle D_1O_1C + \angle CD_1O_1). \Leftrightarrow\]\[\Leftrightarrow \angle D_1O_1C = \angle CD_1O_1. \Leftrightarrow\]\[CD_1 = CO_1.\]
Так как, это отрезки разделённые перпендикуляром в равнобедренном треугольнике.
Значит, \(CD_1 : CO_1 = 1:1.\)

Ответ: \(1:1\).