Найдите все положительные \(x\), удовлетворяющие неравенству \(x^{-7x+5} < x^{-4}\).

Решение

Для положительных \(x\), и используя \(\href{https://examp.info/theorem/metod-racionalizacii/}{\text{метод рационализации}}\), получаем:

\[ x^{-7x+5} < x^{-4}
\Leftrightarrow
\] \[ \Leftrightarrow
x^{-7x+9} < 1
\Leftrightarrow
\] \[ \Leftrightarrow
e^{(-7x+9)\ln x} < e^0
\Leftrightarrow
\] \[ \Leftrightarrow
(-7x+ 9)\ln{x} < 0
\Leftrightarrow
\] \[ \Leftrightarrow
(7x - 9)\ln{x} > 0
\Leftrightarrow
\] \[ \Leftrightarrow
\begin{cases} x > 0 \\ (7x-9)(x-1) > 0\end{cases}\]

Ответ: \((0, 1) \cup \left(\frac 97, +\infty \right)\).