Решите неравенство \(x^2\log^2_6 x + 6\log^2_5 x \leqslant x\log_6 x \cdot \log_5 x^5\).

Решение

Перенесём слагаемое влево и воспользуемся свойствами логарифма:\[
x^2\log^2_6 x + 6\log^2_5 x \leqslant x\log_6 x \cdot \log_5 x^5 \Leftrightarrow
\] \[
x^2\log^2_6 x \ - 5x\log_6 x \cdot \log_5 x + 6\log^2_5\leqslant 0 \Leftrightarrow
\] \[
(x\log_6 x\ -3\log_5 x)(x\log_6 x\ -2\log_5 x)\leqslant 0 \Leftrightarrow
\] \[
(x\log_6 x\ -3\dfrac{\log_6 x}{\log_6 5})(x\log_6 x\ -2\dfrac{\log_6 x}{\log_6 5})\leqslant 0 \Leftrightarrow
\] \[
\log_6 ^2 x \ (x\ -3\log_5 6)(x\ -2\log_5 6)\leqslant 0\Leftrightarrow
\] \[
\left[\begin{array}{lcl} x = 1, \\ 2\log_5 6 \leqslant x \leqslant 3\log_5 6. \end{array} \right.
\]

Ответ: \(\{1\} \cup [2\log_5 6, 3\log_5 6]\).