Найдите все пары \((\alpha, \beta)\), при которых достигается минимум выражения \[\dfrac{4 - 3\sin\alpha}{2 + \cos 2\alpha} + \dfrac{2 + \cos 2\alpha}{\beta^2 + \beta + 1} + \dfrac{\beta^2 + \beta + 1}{\sqrt{\beta} + 1} + \dfrac{\sqrt{\beta} + 1}{4 - 3\sin \alpha}.\]

Решение

Каждое выражение в числителе и знаменателе положительно. Тогда для любых положительных \(a,b,c,d\) верно \[\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{d}+\dfrac{d}{a}\geqslant 2\sqrt{\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{b}{c}} + 2\sqrt{\dfrac{c}{d} \cdot \dfrac{d}{a}} \geqslant 2\sqrt{\dfrac{a}{c}} + 2\sqrt{\dfrac{c}{a}}\geqslant 4\sqrt{\sqrt{\dfrac{a}{c}} \cdot \sqrt{\dfrac{c}{a}}} = 4,\] (по \(\href{https://examp.info/theorem/neravenstvo-o-srednem-arifmetichekom-i-srednem-geometricheskom/}{ \text{неравенству о среднем}}\): \(a + b \geqslant 2\sqrt{a \cdot b}\)) причем равенство достигается тогда и только тогда, когда \[a = b = c = d.\]

Следовательно,
\[\left\{
\begin{array}{l}
4-3\sin \alpha=2+\cos2\alpha, \\
\beta^2+\beta+1=\sqrt{\beta}+1,\\
4-3\sin \alpha =\sqrt{\beta}+1.
\end{array}
\right.\]
Решая первое уравнение из системы, получим \(\sin \alpha=1, \dfrac{1}{2}\). Из второго уравнения \(\beta=0\) или \(0<\beta_0<1\), где \(\beta_0\) корень из \(\sqrt{\beta}\left( \beta + 1 \right) - 1 = 0\).

Перебрав \(4\) возможных варианта для третьего, получим, что равенство достигается только при \(\sin \alpha = 1\) и \(\beta = 0\). Следовательно, \(\alpha = \dfrac{\pi}{2}+2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\). Тогда всевозможные пары, при которых достигается минимум, \(-\) это \(\left( \dfrac{\pi}{2}+2\pi n ; 0 \right), \quad n \in \mathbb{Z}\).

Ответ: \(\alpha = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n \quad \left( n \in \mathbb{Z} \right), \quad \beta = 0\).