В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 1. Высота призмы равна \(\sqrt{7}\). Найдите расстояния между большой диагональю призмы и скрещивающейся с ней диагональю боковой грани.

Решение

Обозначим вершины призмы, как \(AA'BB'CC'DD'\). Тогда большая диагонал призмы, это прямая \(\alpha\) проходящая через \(D\) и \(B'\), а скрещивающейся с ней диагонал боковой грани это прямая \(\beta\) проходящая через \(B\) и \(A'\).
Введем оси координат, тогда \(\href{https://examp.info/theorem/rasstoyanie-mezhdu-pryamymi-v-prostranstve/}{\text{по утверждению про расстояние между прямыми в пространстве}}\) получаем:
\[
p(\alpha,\beta)=\dfrac{|([\overrightarrow a_1,\overrightarrow a_2],\overrightarrow{BD})|}{|[\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2}]|}.
\]
Где вектор \(\overrightarrow {a_1}\) \(—\) направляющий вектор прямой \(\alpha\), \(\overrightarrow {a_2}\) \(—\) прямой \(\beta\).
Запишем все в коодинатах:
\begin{gather*}
\overrightarrow {a_1}=(1;1;-\sqrt{7}),\\
\overrightarrow {a_2}=(1;0;\sqrt{7}),\\
\overrightarrow{BD}=(1;1;0).
\end{gather*}
Тогда:
\begin{gather*}
[\overrightarrow a_1,\overrightarrow a_2]=(\sqrt{7};-2\sqrt{7};-1),\\
|([\overrightarrow a_1,\overrightarrow a_2],\overrightarrow{BD})|=|\sqrt{7}-2\sqrt{7}|=\sqrt{7},\\
|[\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2}]|=\sqrt{(\sqrt{7})^2+(-2\sqrt{7})^2+(-1)^2}=\sqrt{7+28+1}=6,\\
p(\alpha,\beta)=\frac{\sqrt{7}}{6}.
\end{gather*}

Ответ: \(\frac{\sqrt{7}}{6}\).