Решите уравнение \(\cos^2 x + \sqrt{2} \cdot |\cos x| \cdot \sin \left( \frac{5x}{2} - \frac{\pi}{8} \right) + \frac 12 = 0\).

Решение

Поскольку \( \cos{x} = 0\) не даёт решения, исходное уравнение равносильно уравнению

\( -\sin{\Big(\dfrac{5x}{2} - \dfrac{\pi}{8}\Big)} = \dfrac{1}{2}\Big( \dfrac{1/\sqrt{2}}{|\cos{x}|} + \dfrac{|\cos{x}|}{1/\sqrt{2}}\Big) \)

По \(\href{https://examp.info/theorem/neravenstva-o-srednih/}{\text{неравенству между средними}}\) правая часть по модулю не меньше 1 и равна 1 тогда и только тогда, когда \( |\cos{x}| = 1/\sqrt{2}\). Получаем систему

\[
\begin{cases}
\cos{x} = \pm 1/\sqrt{2}\\
\sin{\Big( \dfrac{5x}{2} - \dfrac{\pi}{8}\Big)} = -1
\end{cases}
\Leftrightarrow
\] \[ \Leftrightarrow
\begin{cases}
x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi k}{2}, \, k \in \mathbb{Z}\\
\dfrac{5x}{2} = \dfrac{\pi}{8} + \dfrac{3\pi}{2} + 2\pi n, \, n \in \mathbb{Z}
\end{cases}
\Leftrightarrow
\] \[ \Leftrightarrow
\begin{cases}
x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi k}{2}, \, k \in \mathbb{Z}\\
x = \dfrac{13\pi}{20} + \dfrac{4\pi n}{5}, \, n \in \mathbb{Z}
\end{cases}
\Leftrightarrow
\] \[ \Leftrightarrow
\begin{cases}
x = \dfrac{5\pi + 10\pi k}{20}, \, k \in \mathbb{Z}\\
x = \dfrac{13\pi + 16\pi n}{20}, \, n \in \mathbb{Z}
\end{cases}
\]Нужно найти общий элемент у этих двух последовательностей, и одинаковый период. Легко увидеть, что общим элементом является \(\frac{45\pi}{20} = \frac{9\pi}{4}\), а период \(4\pi k, k \in \mathbb{Z}\). Получаем:\[\
x = \frac{9\pi}{4} + 4\pi k, \, k \in \mathbb{Z}.
\]

Ответ: \(\frac{9\pi}{4} + 4\pi k, k \in \mathbb{Z}\).