Найдите наименьшее значение выражения \[ \sqrt{65 + \log_a^2 \cos ax \hspace{0.1cm}- \log_a \cos^{8} ax} + \sqrt{10 + \log_a^2 \sin ax + \log_a \sin^{2} ax} +\] \[+\sqrt{125 + \log_a^2 \mathop{\mathrm{tg}} ax \hspace{0.1cm}- \log_a \mathop{\mathrm{tg}^{10}} ax}\] и все пары \((a, x)\), при которых оно достигается.

Решение

Преобразуем выражение, используя \(\href{https://examp.info/theorem/logarifma/}{\text{свойства логарифма}}\) и выделяя \(\href{https://examp.info/theorem/vydeleniya-polnogo-kvadrata/}{\text{полные квадраты}}\):
\[
\sqrt{65 + \log_a^2 \cos ax \hspace{0.1cm}- \log_a \cos^{8} ax} + \sqrt{10 + \log_a^2 \sin ax + \log_a \sin^{2} ax} +
\]\[
+ \sqrt{125 + \log_a^2 \mathop{\mathrm{tg}} ax \hspace{0.1cm}- \log_a \mathop{\mathrm{tg}^{10}} ax} = \sqrt{65 + \log_a^2 \cos ax \hspace{0.1cm}- 8 \log_a \cos ax} +
\]\[
+\sqrt{10 + \log_a^2 \sin ax + 2 \log_a \sin ax} + \sqrt{125 + \log_a^2 \mathop{\mathrm{tg}} ax \hspace{0.1cm}- 10 \log_a \mathop{\mathrm{tg}} ax} =
\]\[
= \sqrt{7^2 + (4 \hspace{0.1cm}- \log_a \cos ax)^2} + \sqrt{3^2 + (\log_a \sin ax + 1)^2} + \sqrt{10^2 + (5 \hspace{0.1cm}- \log_a \mathop{\mathrm{tg}} ax)^2}.
\]

Рассмотрим точки \(X = (7; 4 - \log_a \cos ax)\), \(Y = (3; \log_a \sin ax + 1)\), \(Z = (10; 5 - \log_a \mathop{\mathrm{tg}} ax)\) на плоскости.
Обозначим исходное выражение за \(F\). Это есть сумма расстояний от начала координат до точек:
\[
F = |OX| + |OY| + |OZ|.
\]

Сумма первых координат равна \(7+3+10=20\), а вторых координат:
\[
(4 - \log_a \cos ax) + (\log_a \sin ax + 1) + (5 - \log_a \mathop{\mathrm{tg}} ax) = 10,
\]
поскольку \(\log_a \mathop{\mathrm{tg}} ax = \log_a \sin ax - \log_a \cos ax\).

\(\textbf{Используем \(\href{https://examp.info/theorem/neravenstvo-treugolnika/}{\text{неравенство треугольника}}\):}\)

Для любых векторов \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) верно:
\[
|\vec{u}| + |\vec{v}| + |\vec{w}| \geqslant |\vec{u} + \vec{v} + \vec{w}|.
\]

В нашем случае:
\[
F = |\vec{OX}| + |\vec{OY}| + |\vec{OZ}| \geqslant |\vec{OX} + \vec{OY} + \vec{OZ}|.
\]

Сумма векторов:
\[
\vec{OX} + \vec{OY} + \vec{OZ} = (20, 10).
\]

Следовательно:
\[
F \geqslant \sqrt{20^2 + 10^2} = \sqrt{500} = 10\sqrt{5}.
\]

Равенство достигается тогда и только тогда, когда все три вектора \(\href{https://examp.info/onedef/kollinearnye-vektory/}{\text{коллинеарны}}\) и одинаково направлены, т.е. когда
\[
\frac{4 - \log_a \cos ax}{7} = \frac{\log_a \sin ax + 1}{3} = \frac{5 - \log_a \mathop{\mathrm{tg}} ax}{10} = k.
\]

Пусть \(4 - \log_a \cos ax = 7k\), \(\log_a \sin ax + 1 = 3k\), \(5 - \log_a \mathop{\mathrm{tg}} ax = 10k\).
Тогда сумма вторых координат равна \(7k + 3k + 10k = 20k\).
Но мы ранее нашли, что эта сумма равна \(10\). Следовательно, \(20k = 10\), откуда \(k = \frac12\).

Получаем систему:
\[
\begin{cases}
4 - \log_a \cos ax = \frac{7}{2} \\
\log_a \sin ax + 1 = \frac{3}{2} \\
5 - \log_a \mathop{\mathrm{tg}} ax = 5
\end{cases}
\quad\Leftrightarrow\quad
\begin{cases}
\log_a \cos ax = \frac12 \\
\log_a \sin ax = \frac12 \\
\log_a \mathop{\mathrm{tg}} ax = 0.
\end{cases}
\]

Из первых двух уравнений: \(\cos ax = a^{1/2}\) и \(\sin ax = a^{1/2}\).
Тогда \(\sin^2ax + \cos^2ax = 2a = 1\), откуда \(a = \frac12\).

\[
\begin{cases}
\cos \frac{x}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\\
\sin \frac{x}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{cases}
\quad\Leftrightarrow\quad
\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad\Leftrightarrow\quad
x = \frac{\pi}{2} + 4\pi n, \; n \in \mathbb{Z}.
\]

Таким образом, минимальное значение выражения равно \(10\sqrt{5}\) и достигается при
\(a = \frac12\), \(x = \frac{\pi}{2} + 4\pi n\), \(n \in \mathbb{Z}\).

Ответ: \(10\sqrt{5}, a = 1/2, x = \frac{\pi}{2} + 4 \pi n, \ n \in \mathbb{Z}\).