Найдите наименьшее значение выражения \[\sqrt{13 + \log_a^2 \cos \frac xa + \log_a \cos^{4} \frac xa} + \sqrt{97 + \log_a^2 \sin \frac xa - \log_a \sin^{8} \frac xa} + \\ +\sqrt{20 + \log_a^2 \mathop{\mathrm{tg}} \frac xa +\log_a \mathop{\mathrm{tg}^{4}} \frac xa} \] и все пары \((a, x)\), при которых оно достигается.

Решение

\[\sqrt{13 + \log_a^2 \cos \frac xa + \log_a \cos^{4} \frac xa} + \sqrt{97 + \log_a^2 \sin \frac xa - \log_a \sin^{8} \frac xa} + \sqrt{20 + \log_a^2 \mathop{\mathrm{tg}} \frac xa +\log_a \mathop{\mathrm{tg}^4} \frac xa} =\]
\[= \sqrt{13 + 4\log_a \cos \frac xa + \log_a^2 \cos \frac xa} + \sqrt{97 - 8\log_a \sin \frac xa + \log_a^2 \sin \frac xa} +\sqrt{20 + 4\log_a \mathop{\mathrm{tg}} \frac xa + \log_a^2 \mathop{\mathrm{tg}} \frac xa} =\]
\[= \sqrt{3^2 + (\log_a \cos \frac xa + 2)^2} + \sqrt{9^2 + (4 - \log_a \sin \frac xa)^2} + \sqrt{4^2 + (\log_a \mathop{\mathrm{tg}} \frac xa + 2)^2}.\]

Рассмотрим точки \(X = (3; \log_a \cos \frac xa + 2), Y = (9; 4 - \log_a \sin \frac xa),\) \(Z = (4; \log_a \mathop{\mathrm{tg}} \frac xa + 2)\) на плоскости.
Сумма первых координат \(= 3 + 9 + 4 = 16,\) а вторых координат \(= \log_a \cos \frac xa + 2 + 4 - \) \(\log_a \sin \frac xa\ + \log_a \mathop{\mathrm{tg}} \frac xa + 2 = 8\). Нужно минимизировать суммы расстояний от данных точек до начала координат. Оно будет минимальным, если все эти точки лежат на одной прямой, проходящей через точки \((0; 0)\) и \((16; 8).\) Это означает:
\[
\begin{cases}
\log_a \cos \frac xa + 2 = \frac32,\\
4 - \log_a \sin \frac xa = \frac92,\\
\log_a \mathop{\mathrm{tg}} \frac xa + 2 = 2.
\end{cases}
\quad \Rightarrow\]\[ \Rightarrow \quad
\begin{cases}
\cos \frac xa = a^{-\frac12},\\
\sin \frac xa = a^{-\frac12},\\
\mathop{\mathrm{tg}} \frac xa = 1.
\end{cases}
\]
Третье равенство следует из первых двух. По основному тригонометрическому тождеству из \(\cos \frac xa = \sin \frac xa = a^{-\frac12}\) следует, что \(1 = 2 a^{-1}\). Откуда \(a = 2\), и:
\[
\begin{cases}
\cos \frac x2 = \frac{1}{\sqrt2},\\
\sin \frac x2 = \frac{1}{\sqrt2}.
\end{cases}
\quad \Rightarrow\]\[\Rightarrow \quad \frac x2 = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}. \quad \Rightarrow\]\[\Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{2} + 4\pi n ,n \in \mathbb{Z}.\]
Само значение выражения равняется \(8\sqrt{5}.\)

Ответ: \(8\sqrt{5}, a = 2, x = \frac{\pi}{2} + 4\pi n, \ n \in \mathbb{Z}\).