В основании прямой призмы лежит правильный треугольник со стороной 2. Высота призмы равна \(\sqrt{3}\). Найдите расстояния между скрещивающимися диагоналями боковых граней.

Решение

Пусть \(ABC\) и \(A'B'C'\) \(-\) основания призмы, \(AA'\), \(BB'\), \(CC'\) \(-\) ее боковые ребра.
Поскольку все пары скрещивающихся диагоналей боковых граней переходят друг в друга при помощи поворотов относительно оси симметрии призмы и симметрий относительно вертикальных плоскостей симметрии, не ограничивая общности, можно взять диагонали \(AB'\) и \(BC'\).
Расстояние между прямыми \(AB'\) и \(BC'\) достигается на отрезке \(XY\) с концами на этих прямых, перпендикулярном им обеим. Проведём через точку \(B'\) прямую, параллельную \(BC'\). Обозначим точку пересечения этой прямой с прямой \(CB\) через \(D\). Отрезок \(XY\) перпендикулярен прямой \(BC'\) и плоскости \(AB'D\)(так как перпендикулярен \(DB'\) и \(AB'\)). Следовательно, его длина равна расстоянию от точки \(B\) до плоскости \(AB'D.\) Остается найти это расстояние.
Обозначим длину стороны основания через \(a\), высоту призмы через \(h\), а расстояние от точки \(B\) до плоскости \(AB'D\) через \(x\).
Рассмотрим пирамиду \(ABDB'.\) С одной стороны её объём равен \(V_{ABDB'} = \dfrac{1}{3}S_{\triangle ABD}\cdot BB'\), а с другой \(V_{ABDB'} = \dfrac{1}{3}S_{\triangle AB'D}\cdot x\). Значит, \(x = \dfrac{S_{\triangle ABD}\cdot BB'}{S_{\triangle AB'D}} = \dfrac{S_{\triangle ABD}\cdot h}{S_{\triangle AB'D}}\).
Найдём площадь \(\triangle ABD\). Из дополнительного построения видно, что \(AB = BD = a\) и \(\angle ABD = 180^{\circ} - \angle ABC = 120^{\circ}.\) Следовательно
\[S_{\triangle ABD} = \dfrac{1}{2}AB \cdot BD \cdot \sin \angle ABD = \dfrac{1}{2}\cdot a^2\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}.\]
Далее, по \(\href{https://examp.info/theorem/cosinusov/}{\text{теореме косинусов}}\) для \(\triangle ABD\)
\[AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2AB\cdot BD \cdot \cos \angle ABD = 2a^2 - 2a^2 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = 3a^2. \Rightarrow\]\[AD = a\sqrt{3}.\]
\(\triangle ABB' = \triangle BDB'\), т. к. это прямоугольные треугольники с равными катетами. Значит, \(\triangle AB'D\) равнобедренный и \(AB' = DB' = \sqrt{a^2 + h^2}\)
Опустим в этом треугольнике высоту \(B'H\), которая в том числе является и медианой. Тогда
\[B'H = \sqrt{B'D^2 - DH^2} = \sqrt{a^2 + h^2 - \dfrac{3a^2}{4}} = \sqrt{\dfrac{a^2}{4} + h^2}.\]
Теперь можем найти площадь треугольника \(AB'D\)
\[S_{AB'D} = \dfrac{1}{2}AD\cdot B'H = \dfrac{1}{2}\cdot a\sqrt{3}\cdot\sqrt{\dfrac{a^2}{4} + h^2}.\]
Таким образом получим
\[x = \dfrac{S_{\triangle ABD}\cdot h}{S_{\triangle AB'D}} = \dfrac{\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot h}{\frac{1}{2}\cdot a\sqrt{3}\cdot\sqrt{\frac{a^2}{4} + h^2}} = \dfrac{ah}{2\sqrt{\frac{a^2}{4} + h^2}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{1+3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.\]

Ответ: \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).