Две окружности касаются внутренним образом в точке \(T\). Хорда \(AB\) внешней окружности касается внутренней окружности в точке \(S\). Прямая \(TS\) пересекает внешнюю окружность в точках \(T\) и \(C\). Найдите площадь четырехугольника \(TACB\), если известно, что \(CB = BT = 3\), а радиусы окружностей относятся как \(5:8\).

Решение

1) Обозначим угол \(\angle BCT\) за \(\alpha\). Тогда \(\angle BTS = \angle BCT = \alpha\) как углы при основании равнобедренного треугольника \(\triangle CBT\). В свою очередь, \(\angle BAT = \angle BCT = \alpha\) как вписанные углы, опирающиеся на общую дугу \(\smallsmile BT\).
2) Пусть \(M\) — точка пересечения заданных касательных \(l\) и \(k\) к меньшей окружности в точках \(T\) и \(S\) соответственно. Тогда угол \(\angle MTB\) между касательной \(l\) и хордой \(BT\) равен половине градусной меры дуги \(\smallsmile BT\). Этой же величине равняется вписанный угол \(\angle BAT\), опирающийся на ту же дугу. Поэтому \(\angle MTB = \angle BAT = \alpha\).
3) \(MS = MT\) как отрезки касательных, проведённых из одной точки. Значит, \(\angle MTS = \angle MST = 2\alpha\) как углы при основании равнобедренного треугольника \(\triangle SMT\).
4) Согласно формуле суммы углов треугольника для \(\triangle SBT\): \(\angle SBT = 180^\circ - 3\alpha\), для \(\triangle СBT\): \(\angle СBT = 180^\circ - 2\alpha\). Отсюда \(\angle CBS = \angle CBT \hspace{0.1cm}- \angle SBT = \alpha\). Вспомним, что \(\angle BAT = \alpha\), поэтому \(\angle CBS = \angle BAT\). Но это накрест лежащие углы для прямых \(BC\) и \(AT\) и секущей \(AB\). А это значит, что \(BC\) || \(AT\) и четырёхугольник \(TACB\) — равнобокая трапеция (так как только такие трапеции бывают вписанными).
5) Осталось отыскать нижнее основание и высоту трапеции. Заметим, что \(\triangle CBS\) подобен \(\triangle TAS\) по признаку подобия треугольников по двум углам (\(\angle CBS = \angle TAS = \alpha\), а \(\angle CSB = \angle TSA\) как вертикальные). Отсюда \(AT : BC = TS : CS \Rightarrow AT = 3 \cdot \frac{TS}{CS}\).
6) Пусть линия центров второй раз пересекает большую и меньшую окружности в точках \(P\) и \(Q\) соответственно. Тогда \(\triangle PCT\) подобен \(\triangle QST\) по признаку подобия прямоугольных треугольников (\(\angle PCT = \angle QST = 90^\circ\) — вписанные углы, опирающиеся на диаметры; \(\angle CTP = \angle STQ\) — совпадают). Поэтому \(TC : TS = TP : TQ = 8 : 5 \Rightarrow \frac{TS}{CS} = \frac{5}{8\hspace{0.1cm} - \hspace{0.1cm}5} = \frac53\) \(\Rightarrow AT = 5\).
7) Опустим высоту \(BH\), тогда \(HT = 1\) и из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника \(\triangle BHT\) получаем \(BH = 2 \sqrt{2}\). Согласно формуле площади трапеции: \(S_{TACB} = \frac{AT + BC}{2} \cdot BH = \frac{5 + 3}{2} \cdot2 \sqrt{2} = 8 \sqrt{2}.\)

Ответ: \(8\sqrt{2}\).