Решите уравнение \(\log_x\left| 2x^2 - 3 \right| = 4\log_{\left| 2x^2 - 3 \right|} x\).

Решение

Запишем ОДЗ для \(x\).
\[\left\{
\begin{array}{l}
\left| 2x^2 - 3 \right| > 0;\\
\left| 2x^2 - 3 \right| \neq 1;\\
x > 0;\\
x \neq 1;\\
\end{array}
\right.
\Leftrightarrow
\left\{
\begin{array}{l}
x \neq \sqrt{\dfrac{3}{2}};\\
x \neq \sqrt{2};\\
x > 0;\\
x \neq 1.\\
\end{array}
\right.\]
Сделаем замену \(\log_x\left| 2x^2 - 3 \right| = t\), получим уравнение \(t = \dfrac{4}{t}\), откуда \(t = \pm 2\). Следовательно, \[\log_x\left| 2x^2 - 3 \right| = \pm 2 \Rightarrow
\left[
\begin{array}{l}
\left| 2x^2 - 3 \right| = x^2; \\
\left| 2x^2 - 3 \right| = \dfrac{1}{x^2}. \\
\end{array}
\right.\].

Решаем первое уравнение \(\left| 2x^2 - 3 \right| = x^2\). Если \(x^2 \geqslant \dfrac{3}{2}\), то \(2x^2 - 3 = x^2 \Leftrightarrow x^2 = 3 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{3}\). Если \(x^2 < \dfrac{3}{2}\), то \(-2x^2 + 3 = x^2 \Leftrightarrow x^2 = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1\). Из первого уравнения корни \(x = \pm \sqrt{3},\pm 1\).

Решаем второе уравнение \(\left| 2x^2 - 3 \right| = \dfrac{1}{x^2}.\) Если \(x^2 \geqslant \dfrac{3}{2}\), то \(2x^2 - 3 = \dfrac{1}{x^2} \Rightarrow 2x^4 - 3x^2 - 1 = 0 \Leftrightarrow x^2 = \dfrac{3\pm\sqrt{17}}{4} \Leftrightarrow x = \pm\sqrt{\dfrac{3 + \sqrt{17}}{4}}\), так как \(\dfrac{3 + \sqrt{17}}{4} > \dfrac{3}{2}\), при этом второй корень \(\dfrac{3 - \sqrt{17}}{4} < 0\), когда \(x^2 > 0\).
Если \(x^2 < \dfrac{3}{2}\), то \(-2x^2 + 3 = \dfrac{1}{x^2}\Rightarrow 2x^4 -3x^2 + 1 = 0\Leftrightarrow x^2 = \dfrac{3\pm1}{4}\). Следовательно, корни второго \(x = \pm1,\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}, \pm \sqrt{\dfrac{3 + \sqrt{17}}{4}}\).

Таким образом корнями системы являются \(x = \pm1,\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}, \pm\sqrt{\dfrac{3 + \sqrt{17}}{4}}, \pm\sqrt{3}\) без учета ОДЗ. С учетом ОДЗ: \(x = \sqrt{3}, \sqrt{\dfrac{3 + \sqrt{17}}{4}},\dfrac{1}{\sqrt{2}}\).

Ответ: \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\), \(\sqrt{3}\), \(\dfrac{\sqrt{3 + \sqrt{17}}}{2}\).