Из вершины \(D\) на плоскость основания \(ABC\) пирамиды \(ABCD\) опущена высота \(DH\). Найдите объем этой пирамиды, если известно, что площади треугольников \(\Delta HBC\), \(\Delta HAC\), \(\Delta HAB\) равны соответственно \(\dfrac 29\), \(\dfrac 13\), \(\dfrac 49\) и что все три плоских угла при вершине \(D\) прямые.

Решение

Обозначим через \(\alpha, \beta, \gamma\) \(\href{https://examp.info/onedef/dvugrannyj-ugol/}{\text{двугранные углы}}\) при рёбрах \(BC, AC, AB\) соответственно. Поскольку \(DH\bot ABC,\ \Delta HBC\) является \(\href{https://examp.info/onedef/ortogonalnaya-proekciya/}{ \text{ортогональной проекцией}}\) \(\Delta DBC\). Следовательно, \(\dfrac{S(\Delta HBC)}{S(\Delta DBC)}=\cos\alpha\), по \(\href{https://examp.info/theorem/o-svyazi-ploshadi-secheniya-i-ploshadi-proekcii/}{ \text{теореме о связи площади сечения и площади проекции}}\). С другой стороны, \(AD \bot DBC\), то есть \(\Delta DBC\) является \(\href{https://examp.info/onedef/ortogonalnaya-proekciya/}{\text{ортогональной проекцией}}\) \(\Delta ABC\), откуда \(\dfrac{S(\Delta DBC)}{S(\Delta ABC)}=\cos\alpha\), по той же \(\href{https://examp.info/theorem/o-svyazi-ploshadi-secheniya-i-ploshadi-proekcii/}{теореме}\). Учитывая, что \(S(\Delta ABC)=S(\Delta HAB)+S(\Delta HBC)+S(\Delta HAC)=1,\) получаем
\[\cos\alpha=S(\Delta DBC)=\dfrac{S(\Delta HBC)}{S(\Delta DBC)}=\sqrt{S(\Delta HBC)}.\]
Аналогично,
\[\cos\beta=S(\Delta DAC)=\sqrt{S(\Delta HAC)},\]
\[\cos\gamma=S(\Delta DAB)=\sqrt{S(\Delta HAB)}.\]
Далее, поскольку плоские углы при вершине \(D\) прямые, объём \(ABCD\) составляет \(\dfrac{1}{6}\) объёма прямоугольного параллелепипеда с такими же сторонами, тогда:
\[\text{V}(ABCD)=\dfrac 16 \cdot AD\cdot BD\cdot CD = \dfrac{\sqrt{2}}{3}\cdot\sqrt{\dfrac{BD\cdot CD}{2}\cdot \dfrac{AD\cdot CD}{2}\cdot \dfrac{AD\cdot BD}{2}}=\]\[=\dfrac{\sqrt 2}{3}\cdot\sqrt{S(\Delta DBC)\cdot S(\Delta DAC) \cdot S(\Delta DAB)}=\dfrac{\sqrt 2}{3}\cdot\sqrt[4]{S(\Delta HBC\cdot S(\Delta HAC) \cdot S(\Delta HAB)}=\]\[=\dfrac{\sqrt 2}{3}\cdot\sqrt[4]{\dfrac 29 \cdot \dfrac 13 \cdot\dfrac 49}=\dfrac{2\sqrt[4]{2}}{9\sqrt[4]{3}}.\]

Ответ: \(\dfrac{2\sqrt[4]{2}}{9\sqrt[4]{3}}\).