Найдите все положительные \(x\) и \(y\), удовлетворяющие системе уравнений \(\left\{ \begin{array}{l} x + y^{\frac 32} = 54, \\ x^{\frac 23} + y = 18. \end{array} \right.\)

Решение

Положим \(a = \sqrt[3]{x}, b = \sqrt{y}\). Тогда исходная система примет вид
\[
\left\{ \begin{array}{l}
a^3 + b^3 = 54, \\
a^2 + b^2 = 18. \end{array} \right.
\]
Теперь положим \(u = a + b, v = ab.\) В таком случае \(u > 0, v > 0.\)
\(a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = u^2 - 2v\) и \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) = u(u^2 - 3v).\)
Таким образом получаем
\[
\left\{ \begin{array}{l}
u(u^2 - 3v) = 54, \\
u^2 - 2v = 18.
\end{array} \right. \Leftrightarrow
\]\[
\Leftrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
u(u^2 - 3v) = 54, \\
v = \dfrac{u^2}{2} - 9.
\end{array} \right. \Leftrightarrow
\]\[
\Leftrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
u(u^2 - \dfrac{3u^2}{2} + 27) = 54, \\
v = \dfrac{u^2}{2} - 9.
\end{array} \right. \Leftrightarrow
\]\[
\Leftrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
u^3 - 54u + 108 = 0, \\
v = \dfrac{u^2}{2} - 9.
\end{array} \right. \Leftrightarrow
\]\[
\Leftrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
(u-6)(u^2 + 6u - 18) = 0, \\
v = \dfrac{u^2}{2} - 9.
\end{array} \right.
\]
Из первого уравнения последней системы находим \(u = 6, - 3 \pm 3\sqrt{3}.\) Этим значениям соответствуют \(v = 9, 9 \mp 9\sqrt{3}.\) Поскольку \(u, v\) положительны, то подходит лишь одно решение \((u,v) = (6, 9).\)
Выразим обратно \(a\) и \(b\)
\[
\left\{ \begin{array}{l}
a + b = 6, \\
ab = 9.
\end{array} \right. \Leftrightarrow
\]\[
\Leftrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
a = 3, \\
b = 3.
\end{array} \right.\]
Теперь найдём \(x\) и \(y\)
\[x = a^3 = 27,\] \[y = b^2 = 9.\]

Ответ: \((27, 9)\).