Решите уравнение \(\log_{\sqrt{x + 1}}|4x - 1| = 4\log_{|4x - 1|} {\sqrt{x + 1}}\).

Решение

Запишем ОДЗ для \(x\).
\[\left\{
\begin{array}{l}
\left| 4x - 1 \right| > 0;\\
\left| 4x - 1 \right| \neq 1;\\
x > -1;\\
x \neq 0;\\
\end{array}
\right.
\Leftrightarrow
\left\{
\begin{array}{l}
x \neq \dfrac{1}{4};\\
x \neq \dfrac{1}{2};\\
x > -1;\\
x \neq 0.\\
\end{array}
\right.\]
Сделаем замену \(\log_{\sqrt{x + 1}}\left| 4x - 1 \right| = t\), получим уравнение \(t = \dfrac{4}{t}\), откуда \(t = \pm 2\). Следовательно, \[\log_{\sqrt{x + 1}}\left| 4x - 1 \right| = \pm 2 \Rightarrow
\left[
\begin{array}{l}
\left| 4x - 1 \right| = x + 1; \\
\left| 4x - 1 \right| = \dfrac{1}{ x + 1}. \\
\end{array}
\right.\].

Решаем первое уравнение \(\left| 4x - 1 \right| = x + 1\). Если \(x \geqslant \dfrac{1}{4}\), то \(4x - 1 = x + 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{3}\). Если \(x < \dfrac{1}{4}\), то \(-4x + 1 = x + 1 \Leftrightarrow x = 0\). Из первого уравнения корни \(x = \dfrac{2}{3},0\).

Решаем второе уравнение \(\left| 4x - 1 \right| = \dfrac{1}{x+1}.\) Если \(x \geqslant \dfrac{1}{4}\), то \(4x - 1 = \dfrac{1}{x+1} \Rightarrow 4x^2 + 3x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{-3\pm\sqrt{41}}{8} \Rightarrow x = \dfrac{-3 + \sqrt{41}}{8}\), так как \(\dfrac{-3 + \sqrt{41}}{8} > \dfrac{1}{4}\), при этом второй корень \(\dfrac{-3 - \sqrt{41}}{8} < \dfrac{1}{4}\).
Если \(x < \dfrac{1}{4}\), то \(-4x + 1 = \dfrac{1}{x+1} \Rightarrow 4x^2 + 3x = 0 \Leftrightarrow x = -\dfrac{3}{4},0\). Следовательно, корни второго \(x = 0,\dfrac{-3 + \sqrt{41}}{8}, -\dfrac{3}{4}\).

Таким образом корнями системы являются \(x = 0,\dfrac{-3 + \sqrt{41}}{8}, -\dfrac{3}{4}, \dfrac{2}{3}\) без учета ОДЗ. С учетом ОДЗ: \(x = \dfrac{-3 + \sqrt{41}}{8}, -\dfrac{3}{4}, \dfrac{2}{3}\).

Ответ: \(-\dfrac{3}{4}\), \(\dfrac{2}{3}\), \(\dfrac{-3 + \sqrt{41}}{8}\).