Решите неравенство \(\log_{1 + \log_5 x}\left( 1 + \log^2_x 5 \right) \leqslant 1.\)

Решение

Вспомним некоторые \( \href{https://examp.info/theorem/logarifma/}{ \text{свойства логарифма}} . \)
Заметим, что при любом допустимом значении \(x\) выражение \(\log_x 5\) будет отлично от нуля (т.к. только логарифм от единицы равен нулю) \(\Rightarrow \log^2_x 5 + 1 > 1 .\)
Если \(0 < 1 + \log_5 x < 1 < \log^2_x 5 + 1\), то логарифм по такому основанию от числа большего единицы будет отрицательным (т.к. в этом случае логарифм строго монотонно убывает, а его значение в единице равно нулю). В частности, будет выполнено неравенство в условии.
Если \(1 + \log_5 x > 1\), то логарифм по такому основанию строго монотонно возрастает \(\Rightarrow\) неравенство в условии будет выполняться при \(1 + \log_5 x \geqslant 1 + \log^2_x 5 > 1.\)
Случай \(1 + \log_5 x = 1\) мы не рассматриваем (т.к. данное выражение стоит в основании логарифма).
Из вышеперечисленного следует:
\[\log_{1 + \log_5 x}\left( 1 + \log^2_x 5 \right) \leqslant 1 \Leftrightarrow\] \[\left[
\begin{gathered}
0 < 1 + \log_5 x < 1\\
1 + \log_5 x \geqslant 1 + \log^2_x 5
\end{gathered}
\right.
\Leftrightarrow \] \[\left[
\begin{gathered}
-1 < \log_5 x < 0\\
\log_5 x \hspace{0.1cm}- \log^2_x 5 \geqslant 0
\end{gathered}
\right. \Leftrightarrow \]
По свойствам логарифма \(\hspace{0.2cm}\log_x 5 = \frac{1}{\log_5 x},\hspace{0.2cm}\), поэтому:
\[\left[
\begin{gathered}
-1 < \log_5 x < 0\\
\log_5 x \hspace{0.1cm}- \frac{1}{\log^2_5 x} \geqslant 0
\end{gathered}
\right. \Leftrightarrow \] \[\left[
\begin{gathered}
-1 < \log_5 x < 0\\
\log^3_5 x \hspace{0.1cm}- 1 \geqslant 0
\end{gathered}
\right. \Leftrightarrow \] \[\left[
\begin{gathered}
-1 < \log_5 x < 0\\
\log_5 x \geqslant 1
\end{gathered}
\right. \Leftrightarrow \] \[\left[
\begin{gathered}
\frac15 < x < 1\\
x \geqslant 5
\end{gathered}
\right.\]

Ответ: \(\left(\frac 15, 1 \right) \cup [5, \infty)\).