Пусть
\[ \begin{array}{ccr} f(x, y) & = & \sqrt{-6x^2 - 11y^2 - 16xy + 5} + y, \\ g(x, y) & = & -\sqrt{-6x^2 - 11y^2 - 16xy + 5} + y. \end{array}\]
Найдите все значения, которые может принимать хотя бы одна из этих функций.

Решение

Искомое множество совпадает со множеством значений z, при которых разрешима относительно \(x, \, y\) совокупность
\[\left[ \begin{array}{ccr} z - y & = & \sqrt{-6x^2 - 11y^2 - 16xy + 5} \\ z-y & = & -\sqrt{-6x^2 - 11y^2 - 16xy + 5} \end{array}\right.\]

Эта совокупность равносильна уравнению
\[ (z-y)^2 = -6x^2 - 11y^2 - 16xy + 5\]

То есть уравнению
\[ 6x^2 +16xy + (z-y)^2 + 11y^2+ 5 = 0\]

Разрешимость этого уравнения относительно \(x\) при фиксированных \(z, \, y\) равносильна неотрицательности дискриминанта. Следовательно, исходное искомое множество совпадает с множеством тех \(z\), при которых относительно \(y\) разрешимо неравенство

\[(8y)^2 - 6\big((z-y)^2 + 11y^2+ 5\big) \geqslant 0 \]

Перепишем это неравенство следующим образом:

\[ 4y^2 - 6yz + 4z^2 + 15 \leqslant 0\]

Оно разрешимо тогда и только тогда, когда дискриминант неотрицателен. то есть, когда

\[ z^2 \leqslant 20\]

Стало быть, искомое множество \(-\) отрезок \([-2\sqrt{5}, 2\sqrt{5}]\).

Ответ: \([-2\sqrt{5}, 2\sqrt{5}]\).