В правильную треугольную призму с основаниями \(ABC\), \(A'B'C'\) и ребрами \(AA'\), \(BB'\), \(CC'\) вписана сфера радиуса \(\sqrt{21}\). Найдите расстояние между прямыми \(A'K\) и \(B'L\), где \(K\) и \(L\) – точки, лежащие на \(AB\) и \(BC\) соответственно, и \(AK:KB = BL:LC = 2:3\).

Решение

Пусть \(d\) - расстояние между прямыми \(A'K\) и \(B'L\). Обозначим через \(F\) и \(F'\) середины рёбер \(AC\) и \(A'C'\) соответственно. Опустим перпендикуляры \(KK'\) и \(LL'\) на \(AC\). \(BF\) - высота в правильном треугольнике. По \(\href{https://examp.info/theorem/falesa/}{ \text{теореме Фалеса}}\) \(AK' : K'F = FL' : L'C = 2 : 3\). Следовательно, \(K'L' = AF = A'F'\), то есть прямые \(A'K'\) и \(F'L'\) параллельны. Поскольку \(KK'\) и \(LL'\) также параллельны, получаем, что плоскости \(\alpha = (A'KK') \parallel \beta = (F'L'LB')\). Следовательно, расстояние между прямыми \(A'K\) и \(B'L\) равно расстоянию между плоскостями \(\alpha\) и \(\beta\). Так как \(F'\) - середина \(A'C'\), то расстояние между плоскостями равно расстоянию от точки \(С'\) до \(\beta\). Перпендикуляр из \(С'\) к стороне \(F'L'\) перпендикулярен также и \(B'F'\), так как \(B'F' \perp (A'ACC')\). Следовательно, перпендикуляр из \(С'\) к стороне \(F'L'\) \(-\) расстояние между прямыми \(A'K\) и \(B'L\).

Пусть \(r\) \(-\) радиус сферы. Рассмотрим треугольник \(\triangle F'C'K\), где \(K\)- точка пересечения между прямыми \(F'L'\) и \(CC'\). Следовательно,\(F'C' = \sqrt{3} r = \sqrt{3} \cdot \sqrt{21} = 3\sqrt{7}\) и \(C'K = \dfrac{5}{2} CC' = \dfrac{5}{2} \cdot 2r = 5\sqrt{21}\). Тогда \(F'K^2 = F'C'^2 + C'K^2\), по \(\href{https://examp.info/theorem/pifagora/}{ \text{теореме Пифагора}}\), и \(\sin\angle F'KC' = \dfrac{F'C'}{F'K} = \dfrac{d}{C'K} \Rightarrow d = \dfrac{F'C' \cdot C'K}{\sqrt{F'C'^2 + C'K^2}} = \dfrac{3\sqrt{7} \cdot 5\sqrt{21}}{\sqrt{63 + 525}} = \dfrac{105\sqrt{3}}{\sqrt{588}} = \dfrac{105}{14} = \dfrac{15}{2}\).

Ответ: \(\dfrac{15}{2}\).