Пусть \(\) \begin{array}{ccr} f(x, y) & = & \sqrt{-5x^2 - 17y^2 - 18xy + 12} + y, \\ g(x, y) & = & -\sqrt{-5x^2 - 17y^2 - 18xy + 12} + y. \end{array} \(\) Найдите все значения, которые может принимать хотя бы одна из этих функций.

Решение

Искомое множество совпадает с множеством значений \(z\), при которых разрешима относительно \(x, y\) совокупность
\[
\left[ \begin{array}{l}
z - y = \sqrt{-5x^2 - 17y^2 - 18xy + 12}, \\
z - y = -\sqrt{-5x^2 - 17y^2 - 18xy + 12}.
\end{array} \right.
\]
Эта совокупность равносильна уравнению, при условии, что выражение под корнем положительно
\[(z - y)^2 = -5x^2 - 17y^2 - 18xy + 12.\]
То есть уравнению
\[5x^2 + 18xy + (z - y)^2 + 17y^2 - 12 = 0.\]
Разрешимость этого уравнения относительно \(x\) при фиксированных \(z,y\) равносильна неотрицательности дискриминанта. Следовательно, исходное искомое множество совпадает с множеством тех \(z\), при которых относительно \(y\) разрешимо неравенство
\[(9y)^2 - 5((z-y)^2 + 17y^2 - 12) \geqslant 0.\]
Перепишем это неравенство следующим образом
\[9y^2 - 10yz + 5z^2 - 60 \leqslant 0.\]
Оно разрешимо тогда и только тогда, когда дискриминант неотрицателен. То есть когда
\[z^2 \leqslant 27.\]
Стало быть, искомое множество \(-\) отрезок \([-3\sqrt{3}, 3\sqrt{3}].\)

Ответ: \([-3\sqrt{3}, 3\sqrt{3}]\).