Решите уравнение \(8\cos^2 x + \sin 2x = 3 + 2\cos 2x\).

Решение

Воспользуемся формулами синуса и косинуса двойного угла: \(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha,\) \(\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1.\)
Получим
\[8\cos^2 x + 2\sin x\cos x = 3 + 2(2\cos^2 x - 1). \Leftrightarrow\]\[\Leftrightarrow 4\cos^2 x + 2\sin x\cos x = 1.\]
Далее, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.\)
\[4\cos^2 x + 2\sin x\cos x = \cos^2 x + \sin^2 x. \Leftrightarrow\]\[\Leftrightarrow 3\cos^2 x + 2\sin x\cos x - \sin^2 x = 0. \Leftrightarrow\]\[\Leftrightarrow \sin^2 x - 2\sin x\cos x - 3\cos^2 x = 0.\]
Заметим, что \(\cos x = 0\) не является корнем (так как иначе и \(\sin x = 0\), чего одновременно быть не может).
Поделим на \(\cos x \neq 0\):
\[\mathop{\mathrm{tg}^2} x - 2\text{tg} x - 3 = 0.\]
Следовательно:
\[\left[
\begin{array}{l}
\mathrm{tg} x = -1,\\
\mathrm{tg} x = 3.
\end{array}
\right.\]
Откуда: \(
\left[
\begin{array}{l}
x = -\dfrac{\pi}{4} + \pi n,\\
x =\mathrm{arctg}3 + \pi n,
\end{array}
\right. \quad n \in \mathbb{Z}\).

Ответ: \(-\dfrac{\pi}{4} + \pi n, \text{arctg}\hspace{0.1cm} 3 + \pi n, \ n \in \mathbb{Z}\).