Окружности \(\Omega_1\) и \(\Omega_2\) с центрами в точках \(O_1\) и \(O_2\) касаются внешним образом в точке \(A\). Общая внешняя касательная к этим окружностям касается \(\Omega_1\) в точке \(B\) и пересекает в точке \(C\) общую касательную этих окружностей, проходящую через точку \(A\). Прямая, делящая угол \(ACO_1\) пополам, пересекает прямые \(O_1O_2\) и \(BO_1\) в точках \(L\) и \(D\) соответственно. Найдите \(CO_2\), если известно, что \(LO_1 = 2\), а прямые \(CO_2\) и \(DO_2\) перпендикулярны.

Решение

Отрезки \(CB, CA\) и \(CB_1\) равны как отрезки касательных. Следовательно:
\[\triangle O_1CB = \triangle O_1CA; \triangle O_2CB_1 = \triangle O_2CA.\] Значит, \(CO_1\) и \(CO_2\) являются биссектрисами углов \(ACB_1\) и \(ACB_2\) и, таким образом образуют прямой угол.
Стало быть:
\[\angle LCO_2 = 90^{\circ} - \angle LCO_1 = 90^{\circ} - LCA = \angle CLA,\] то есть \(\triangle LCO_2\) равнобедренный (по признаку), значит \(LO_2=CO_2\).

Заметим, что \(\triangle LAC \sim \triangle DO_2 C\) по двум углам. Значит, \(\angle CDO_2 = \angle LCA\) как соответвующий. Тогда \(\triangle LCO_1 \sim \triangle LDO_2\) по двум углам.

Поскольку прямые \(O_1C\) и \(DO_2\) перпендикулярны \(CO_2\), эти прямые параллельны, поэтому:
\begin{gather*}
\angle O_1 D O_2=\angle B O_1 C=90^{\circ} - 2 \alpha =\angle O_1 O_2 D\text{ (как накрест лежащие)},
\end{gather*}
значит, треугольник \(O_1O_2D\) равнобедренный (по признаку), \(O_1D=O_1O_2\). Пусть \(O_1H\) \(-\) высота и медиана этого треугольника. Тогда, т.к. \(HO_1CO_2\) прямоугольник:
\begin{gather*}
O_1C=O_2H=\frac{1}{2}DO_2,
\end{gather*} значит, треугольник \(DLO_2\) подобен треугольнику \(CLO_1\) с коэффициентом \(2\). Следовательно:
\[CO_2=LO_2=2LO_1=4. \]

Ответ: \(4\).