Решите неравенство \(\cos x - \sqrt{\frac 23} \cos 2x - \sin x \geqslant 0\).

Решение

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла:
\[\cos x - \sqrt{\frac 23} (\cos^2x - \sin^2x) - \sin x \geqslant 0\]
И формулой разности квадратов:
\[(\cos x-\sin x)- \sqrt{\frac 23} (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) \geqslant 0\]
Выделяем общий множитель:
\[\sqrt{\frac 23}(\cos x - \sin x)\left(\sqrt{\frac 32} -\cos x -\sin x\right) \geqslant 0\]
\[(\cos x- \sin x)\left(\sqrt{\frac 32} -(\cos x + \sin x)\right) \geqslant 0\]
Далее, воспользуемся методом вспомогательного угла в каждой из скобок:
\[\sqrt2\left(\frac{1}{\sqrt2} \cos x - \frac{1}{\sqrt2}\sin x\right)\left(\sqrt{\frac 32} - \sqrt2\left(\frac{1}{\sqrt2}\cos x + \frac{1}{\sqrt2}\sin x\right)\right) \geqslant 0\]
\[\left(\frac{1}{\sqrt2}\cos x- \frac{1}{\sqrt2}\sin x\right)\left(\frac{\sqrt3}{2} -\left(\frac{1}{\sqrt2}\cos x + \frac{1}{\sqrt2}\sin x\right)\right) \geqslant 0\]
\[\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\left(\frac{\sqrt3}{2}- \cos \left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right) \geqslant 0\]
Найдём значения \(x\), при которых обнуляются соответствующие множители:
\begin{gather*}
\left[
\begin{array}{l}
\cos(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt3}{2},\\
\cos(x + \frac{\pi}{4}) = 0.
\end{array}{}
\right. \Rightarrow \ \\
\Rightarrow\left[
\begin{array}{l}
x- \frac{\pi}{4} = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi n,\\
x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi n.
\end{array}{} \right. \Rightarrow \ \\
\Rightarrow \left[
\begin{array}{l}
x = \frac{\pi}{12} + 2\pi n,\\
x = \frac{5\pi}{12} + 2\pi n\\
x = \frac{\pi}{4} + \pi n,
\end{array}{}
\right., \ n \in \mathbb{Z}.
\end{gather*}
Отметим эти точки на тригонометрическом круге, после чего найдём дуги, на которых неравенство из условия выполняется (большая окружность соответствует первому множителю, меньшая - второму; красный цвет - положительность соответствующего множителя, синий - отрицательность; нам подходят дуги, на которых цвета совпадают). Теперь зададим эти дуги неравенствами: \(\left[-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \frac{\pi}{12} + 2\pi n \right] \cup \left[\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{5\pi}{12} + 2\pi n \right], \ n \in \mathbb{Z}.\)

Ответ: \(\left[-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \frac{\pi}{12} + 2\pi n \right] \cup \left[\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{5\pi}{12} + 2\pi n \right], \ n \in \mathbb{Z}\).