Пусть:
\[\begin{array}{l}
f(x, y) = \sqrt{-5x^2 - 13y^2 - 16xy + 2} + y, \\
g(x, y) = -\sqrt{-5x^2 - 13y^2 - 16xy + 2} + y.
\end{array} \]
Найдите все значения, которые может принимать хотя бы одна из этих функций.

Решение

Искомое множество совпадает с множеством значений \(z\), при которых разрешима относительно \(x,y\) совокупность
\begin{gather*}
\left [
\begin{array}{l}
z - y = \sqrt{-5x^2 - 13y^2 - 16xy + 2},\\
z - y = -\sqrt{-5x^2 - 13y^2 - 16xy + 2}.
\end{array}
\right.
\end{gather*}
Эта совокупность равносильна уравнению:
\begin{gather*}
(z-y)^2 = -5x^2 - 13y^2 - 16xy + 2.
\end{gather*}
То есть уравнение:
\begin{gather*}
5x^2 + 16xy + \left(z-y\right)^2+13y^2-2 = 0.\
\end{gather*}
Разрешимость этого уравнения относительно x при фиксированных \(z,y\) равносильна нотрицательности дискриминанта. Следовательно исходное искомое множество совпадает с множеством тех \(z\), при которых относительно \(y\) разрешимо неравенство:
\begin{gather*}
\left(8y\right)^2-5\left(\left(z-y \right)^2+13y^2-2\right) \geqslant 0.
\end{gather*}
Перепишем это неравенство следующим образом:
\begin{gather*}
6y^2 - 10yz + 5z^2 - 10 \leqslant 0.
\end{gather*}
Оно разрешимо тогда и только тогда, когда дискриминант неотрицателен. То есть, когда
\begin{equation*}
z^2 \leqslant 12.
\end{equation*}
Стало быть, искомое множество \([-2\sqrt{3};2\sqrt{3}]\).

Ответ: \([-2\sqrt{3}, 2\sqrt{3}]\).