Две окружности касаются внутренним образом в точке \(P\). Хорда \(QR\) внешней окружности касается внутренней окружности в точке \(S\). Прямая \(PS\) пересекает внешнюю окружность в точках \(P\) и \(T\). Найдите \(QT\), если известно, что \(PQ \parallel RT\), площадь четырехугольника \(PQTR\) равна \(5\sqrt{5}\), а радиусы окружностей относятся как \(7:10\).

Решение

Пусть \(x\) - длина \(QT\). Заметим, что четырёхугольник \(PQTR\) - равнобокая трапеция
\(\href{https://examp.info/theorem/o-summe-protivopolozhnyh-uglov-vpisannogo-chetyryohugolnika/}{\text{по теореме o сумме противоположных углов вписанного четырёхугольника}}\). А значит \(PR = QT = x.\)

Обозначим угол \(\angle RTP\) за \(\alpha\). Тогда \(\angle RQP = \angle RTP = \alpha\), как вписанные углы, опирающиеся на общую дугу \(PR.\)
В свою очередь, \(\angle TRS = \angle SQP = \alpha\) как накрест лежащие углы при параллельных прямых \(TR\) и \(PQ\) и секущей \(QR.\)

Пусть \(M\) - точка пересечения заданных касательных \(l\) и \(k\) к меньшей окружности в точках \(P\) и \(S\) соответственно. Тогда \(\href{https://examp.info/theorem/ob-ugle-mezhdu-kasatelnoj-i-hordoj/}{\text{ угол \(\angle MPR\) между касательной \(l\) и хордой \(PR\) равен половине градусной меры дуги \( PR\)}}\). Этой же величине равняется вписанный угол \(\angle RQP\), опирающийся на ту же дугу. Поэтому \(\angle MPR = \angle RQP = \alpha\).
\(\angle RST = 180^\circ - 2\alpha,\) поэтому смежный ему \(\angle RSP = 2\alpha.\) \(MS = MP\) \(\href{https://examp.info/theorem/o-kasatelnyh/}{\text{как отрезки касательных, проведённых из одной точки}}\). Значит, \(\angle MPS = \angle MSP = 2\alpha\) как углы при основании равнобедренного треугольника \(\triangle SMP.\) Отсюда \(\angle RPS = \angle MPS - \angle MPR = \alpha = \angle RTP.\) Но это равные углы при основании треугольника \(\triangle TRP,\) следовательно он равнобедренный и \(TR = PR = x.\)

Заметим, что \(\triangle TRS\) \(\href{https://examp.info/onedef/podobnye-treugolniki/}{\text{подобен}}\) \(\triangle PQS\) по двум углам (\(\angle TRS = \angle PQS = \alpha\), а \(\angle TSR = \angle PSQ\), как вертикальные). Отсюда \(PQ : TR = PS : TS \Rightarrow PQ = x \cdot \frac{PS}{TS}.\)

Пусть линия центров второй раз пересекает меньшую и большую окружности в точках \(A\) и \(B\) соответственно. Тогда \(\triangle ATP\) подобен \(\triangle BSP\) по двум углам (\(\angle ATP = \angle BSP = 90^\circ\) - вписанные углы, опирающиеся на диаметры; \(\angle TPA = \angle SPB\)). Поэтому \(TP : SP = AP : BP = 10 : 7 \Rightarrow \frac{PS}{TS} = \frac{7}{10\hspace{0.1cm} - \hspace{0.1cm}7} = \frac73\) \(\Rightarrow PQ = \frac73 x.\)

Проведем высоту \(RH\), тогда \(PH = \frac23 x\) и из теоремы \(\href{https://examp.info/theorem/pifagora/}{\text{Пифагора}}\) для прямоугольного треугольника \(\triangle RHP\) получаем \(RH = \frac{\sqrt{5} x}{3}\). Согласно формуле площади трапеции: \(S_{PQTR} = \frac{PQ + TR}{2} \cdot RH = \frac{\frac73 x + x}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} x}{3} = \frac{5 \sqrt5 x^2}{9} = 5 \sqrt{5}.\) Следовательно, \(x = 3.\)

Ответ: \(3\).